三维空间中二次方程与二次曲面张晓青（2010073060029）指导教师：李厚彪【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解.【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面1 引 言教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变换=X A α，=Y A β，则 TTTT(,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变.设222123111222333121213132323112233(,,)222?f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1）则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面.令111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，123b b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b 则（1.1）式可记为T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T()g =X X AX1. 作正交变换=X CY ，其中T123(,,)y y y =Y ，则223'''112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）其中，123,,λλλ是矩阵A 的特征值,112233()()()()g g f g b y b y b y c=''''=++++=X CYX Y X Y2. 对（1.3）配平方，在几何上就是作坐标平移变换，将(1.3)化为标准型，因为正交变换不改变向量的内积，所以化成的标准型后的方程表示的几何图形与（1.1）中的几何图形相同. 由于二次曲面的三个特征根123,,λλλ不全为零，下面按它们全不为零，有一个为零和有两个为零三种情况讨论.（1）1230λλλ≠，通过配方，将223'''1122331122330y y y b y b y b y c λλλ++++++= 改写为2222223312121122331231231()()()()02224b b b b b b y y y c λλλλλλλλλ''''''++++++-++= （2.1.1）令111122223333222b z y b z y b z y λλλ⎧'=+⎪⎪⎪'⎪=+⎨⎪⎪'⎪=+⎪⎩作平移变换，2223121231()4b b b d c λλλ'''=++-，方程化为 222112233z z z d λλλ++= （2.1.2）讨论简化方程（2.1.2）的系数 1）0d ≠.①123,,λλλ与d 同号令122232111d a d b d c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221z z z a b c ++=（2.1.3） 为椭球面标准方程，确定的曲面为椭球面（图1 (a)）图1(a) 椭球面图1(b) 球面特别地，当123λλλ==时为球面(图1(b)) ②123,,λλλ与d 异号令122232111d a d b d c λλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成 2223122221z z z a b c ++=-（2.1.4） 为虚椭球面.③123,,λλλ中有一个与d 同号（不妨设3λ与d 同号）令122232111d a d b d c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成 2223122221z z z a b c +-=（2.1.5） 为单叶双曲面标准方程，确定的曲面为单叶双曲面（图2）.图2单叶双曲面④123,,λλλ中有两个与d 同号（不妨设12,λλ与d 同号）令122232111d a d b d c λλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221z z z a b c +-=-（2.1.6） 为双叶双曲面标准方程，确定的曲面为双叶双曲面（图3）.图3 双叶双曲面2）0d = ⑤123,,λλλ同号令122232111a b c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122220z z z a b c ++=（2.1.7） 当且仅当1230z z z ===成立，故表示一点（0,0,0）. ⑥123,,λλλ不全同号（不妨设12,λλ与3λ异号）令122232111a b c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成222312222zz za b c+-=（2.1.8）为椭圆锥面标准方程，确定的曲面为椭圆锥面(图4). 特别地当12λλ=时为圆锥面(图5).图4椭圆锥面图5 圆锥面（2）123λλλ=情况一：123,,λλλ有且只有一个为零（不妨设3λ=），通过配方，将22'''1122112233y y b y b y b y cλλ+++++=改写为2222121211223312121()()()0224b b b by y b y cλλλλλλ'''''+++++-+=（2.2.1）令111122223322bz ybz yz yλλ⎧''=+⎪⎪⎪'⎪'=+⎨⎪⎪'=⎪⎪⎩作平移变换，2212121()4b bd cλλ''=-+，方程化为22112233z z b z dλλ''''+++=（2.2.2）（1）3b'≠再令1122333z zz zz b z d⎧'=⎪⎪'=⎨⎪''=+⎪⎩又一次作平移变换，方程化为22112233z z b zλλ'++=（2.2.3）讨论简化方程（2.2.3）的系数⑦12,λλ同号令13231212pbqbλλ⎧=⎪'⎪⎨⎪=⎪'⎩,(2.2.3)变成22123(0)22z zz pqp q+=>（2.2.4），为椭圆抛物面的标准方程，所确定的曲面为椭圆抛物面（图6）.特别地，当p q=时，曲面是旋转抛物面（图7）.图6 椭圆抛物面图7旋转抛物面⑧12,λλ异号令13231212pbqbλλ⎧=⎪'⎪⎨⎪=-⎪'⎩,(2.2.3)变成22123(0)22z zz pqp q-=>，为双曲抛物面的标准方程，所确定的曲面为双曲抛物面（图8）. 特别地，当p q=时，表示3z=的平面.图8 双曲抛物面（2）3b'=, 则221122z z dλλ++=A.0d≠⑨12,λλ同号与d异号令122211d ad bλλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z za b+=，为椭圆柱面标准方程，确定的曲面为椭圆柱面（图9），特别地，当12λλ=时为圆柱面.图9椭圆柱面⑩12,λλ与d同号令122211d ad bλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z za b+=-，为虚椭圆柱面.⑪12,λλ异号令122211d ad bλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z za b-=，为双曲柱面标准方程，确定的曲面为双曲柱面（图10）.图10 双曲柱面B.0d=⑫12,λλ同号，则当且仅当12z z==成立，表示一对垂直相交于一条直线的曲面.⑬12,λλ异号令122211d ad bλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成221222z za b-=，表示一对相交平面的标准方程，确定了两个相交平面, 特别地，当a b=时，12z z=±，表示一对相互垂直的平面.情况二：123,,λλλ有两个为零（不妨设230λλ==），通过配方，将2'''111122330y b y b y b y c λ++++= 改写为221111223311()024b b y b y b y c λλλ''''++++-= （2.3.1）令111122332b z y z y z y λ⎧''=+⎪⎪⎪'=⎨⎪'=⎪⎪⎩作平移变换，2114b d c λ'=-，方程化为21122330z b z b z d λ''''+++= （2.3.2）讨论简化方程（2.3.2）的系数. （1）23,b b ''至少一个不为零⑭令11112222212112232212z z z b b z b b ⎧⎪⎪'=⎪⎪''''⎪=⎨''⎪+⎪''''⎪=⎪''⎪+⎩作旋转变换得222111220z b b z λ''++=，再令221212b b p λ''+=，方程化为2122z pz =±（0p >），为抛物柱面的标准方程，所确定的曲面为抛物柱面（图11）.图11抛物柱面（2）230b b ''==则2110z d λ'+= （2.3.3）⑮1,d λ异号 令21da λ=-，方程（2.3.3）改写成 221z a =，表示一对平行平面 1z a =±.⑯1,d λ同号 令21da λ=，方程（2.3.3）改写成 221z a =-，表示一对虚的平行平面.⑰0d = ，方程变为210z =，表示一对重合平面.3.小 结：任何一个二次方程通过正交变换可以化成五种标准方程之一：(一) 222112233z z z d λλλ++= 1230λλλ≠；(二) 221122330z z b z λλ'++= 1230b λλ'≠；(三) 2211220z z d λλ++= 120λλ≠； (四) 21120z pz λ±= 10p λ≠；(五) 2110z d λ'+= 10λ≠. （i λ为各二次方程的非零特征根）各标准方程对应不同的参数值可得17种类型的曲面，这17种类型曲面可分成3种情况： a) 基本类型：9种 b) 两个平面：3种一条直线：1种 一个点：1种 c) 虚图形：3种参考文献[1]黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何，高等教育出版社，2008。