高等数学II 期中试卷一、选择题（每小题3分，共计 15 分）1、 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=00),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 。
(A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在；(C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。
2、 二重积分⎰⎰Dxydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为 。
(A )．61； (B )．121； (C )．21； (D )．41。
3、 设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=∂∂+∂∂yzb x z a 。
(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。
4、 设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则⎰⎰Dd xy σ= 。
(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24R ； (D )．4R 。
5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。
(A)．12 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(B )．cos sin 20 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰；(C)．1cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ-⎰⎰；(D )．12cos sin 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰。
二、填空题（每小题4分，共计24 分） 1、设xy xy z )(=，则=z d ，在点)2,1( P 处的梯度=P z grad 。
2、设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则=')1,(x f x 。
3、D 由曲线1)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域，则()Dx y dxdy +=⎰⎰ 。
4、函数xyz u =在点)2,1,5( 处沿从点)2,1,5( 到点),,9( 14 4 所确定方向的方向导数是 。
5、曲线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2252121x z x y 在点)2,1,1(--处的切线方程为 ，法平面方程为 。
6、改变积分次序1 arcsin 12arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d yyyy f x y x y f x y x ππ---+=⎰⎰⎰⎰。
三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求⎰⎰110sin xdy y xy dx 。
2、求椭球面932222=++z y x 的平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程。
3、已知),(ηξf z =具有二阶连续偏导数，利用线性变换⎩⎨⎧+=+=byx ayx ηξ变换方程0322222=∂∂+∂∂∂+∂∂y z y x z xz 。
问：当b a ,取何值时，方程化为02=∂∂∂ηξz 。
4、f x y xf z y x ,)(222=++可微，求x z∂∂。
5、在经过点)31,1,2(P 的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。
6、求二元函数9422++=y x z 在区域422≤+y x 的最大值、最小值。
7、设区域121:≤+≤y x D ，证明：0)ln(22<+⎰⎰Dy x y x d d 。
四、每小题6分，共计12分1、设2222, 0(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=⎩，用方向导数的定义证明：函数),(y x f 在原点),(0 0沿任意方向的方向导数都存在。
2、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠≥≥++-=⎰⎰≤+000,0,0])(1[)(2222222t t y x y x y x y x f x t f t y x ,d d ，若)(t f 是连续可微的函数，求)(t f 。
高等数学II 期中考试解答一、选择题（每小题3分，共计 15 分）5、 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=00),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 B 。
(A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在；(C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。
6、 二重积分⎰⎰Dxydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为 B 。
(A )．61； (B )．121； (C )．21； (D )．417、 设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=∂∂+∂∂y z b xz aA 。
(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。
8、 设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则d Dxy σ=⎰⎰C。
(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24R ； (D )．4R 。
5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 D 。
(A )．12 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰； (B )．cos sin 2d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰；(C )．1cos 20d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ-⎰⎰；(D )．12cos sin 00d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰。
二、填空题（每小题4分，共计24 分）1、设xyxy z )(=，则=z d dy x xy xy dx x xy y xy xyxy )ln(1)())ln(1()(2++-，在点),(2 1P 处的梯度=P z grad ) ln2)4(1 , )2ln 1(8 (+-。
2、设yx y x y x f arcsin )1(),(-+=，则=')1,(x f x 1 。
3、D 由曲线22(1)(1)1x y -+-=所围成的闭区域，则()Dx y dxdy+⎰⎰=π2。
4、函数xyz u =在点),,( 2 1 5 处从点),,( 2 1 5 到点),,( 14 4 9 的方向导数是1398。
) 21 , 3 , 4 (=l ρ，) 21 , 3 , 4 (1310=l ρ，)5 , 10 , 2( grad )2,1,5(=u ， 1398grad )2,1,5(0=•=∂∂u l lu ρ5、曲线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2252121x z x y 在点),,(211--处的切线方程为522111-+=-+=-z y x ，法平面方程为25130x y z ---=。
注意：{}5,2,1--=s ϖ，点),,(211--；法平面方矢{}5,2,1--==s n ϖρ。
6、改变积分次序1arcsin 12arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d yyyy f x y x y f x y x ππ---+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-πsin 2sin),(xxdyy x f dx 。
三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求⎰⎰110sin xdy y xy dx 。
解：先交换积分次序)1cos 1(31sin sin 010110-==⎰⎰⎰⎰yx dx y x y dy dy y x y dx 2、求椭球面932222=++z y x 的平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程。
解：设切点为000(,,)x y z ，则222000239x y z ++=， 过切点的法向量为：000000462(4,6,2)//(2,3,2)232x y z n x y z t=-⇒===-r，得00011,,22x t y t z t ==-=，代入222000239x y z ++=，得2t =±， 切点为(1,1,2)-或(1,1,2)-，(2,3,2)n =-r，故切平面方程为：23290x y z -+-=或09232=++-z y x 。
3、已知),(ηξf z =具有二阶连续偏导数，利用线性变换⎩⎨⎧+=+=by x ayx ηξ变换方程0322222=∂∂+∂∂∂+∂∂y z y x z x z 。
问：当b a ,取何值时，方程化为02=∂∂∂ηξz 。
解： ηξ∂∂+∂∂=∂∂z z x z ， ηξ∂∂+∂∂=∂∂zbz a yz 。
22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂z z z x z ， 2222222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂z bz ab z a y z ，222222)(ηηξξ∂∂+∂∂∂++∂∂=∂∂∂z b z b a z a y x z所以222223y z y x z x z ∂∂+∂∂∂+∂∂ 0)31()2332()31(2222222=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++=ηηξξz b b z ab b a z a a2=∂∂∂ηξz时，b a ,应满足一元二次方程0312=++r r 且02332≠+++ab b a 。
解得2532,1±-=r ，b a ,取其任一值，且a ≠b 时，方程化为02=∂∂∂ηξz 。
4、f x y xf z y x ,)(222=++可微，求x z∂∂解：设)(222xy xf z y x F -++=，由公式zx yx y f x x y f x F F x z z x 2)()(22⋅'+--=-=∂∂5、在经过点),,( 311 2 P 的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。
解：设过点),,( 31 1 2 P 的平面截距式方程为1=++c zb y a x ，点P 满足方程 即13112=++c b a平面与三坐标面围成的在第一卦限中立体的体积为c b a V ⋅⋅⋅=61由拉格朗日乘数法，设⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=13112c b a abc F λ 由0=∂∂a F ，0=∂∂b F ，0=∂∂c F 及13112=++c b a 得最值点的坐标1,3,6===c b a 所求平面为1136=++zy x 即662=++z y x 。
6、求二元函数9422++=y x z 在区域422≤+y x 的最大值、最小值。
解：y z x z y x 8,2==。
令⎩⎨⎧==00yx z z 解得驻点：（0，0）在区域内9)0,0(=z在边界上224y x -=代入9342++=y z )22(≤≤-y 求出导数为0的点y = 0 这时2±=xz(2,0)=13, z(-2,0)=13,z(0,-2)=z(0,2)=25比较得最大值：z(0,-2)=z(0,2)=25，最小值：z(0,0)=97、设区域121:≤+≤y x D ，证明：0d d 22<+⎰⎰D y x y x )ln(。