解析数学中考史上十大难题原题：25.已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边△ABD、等边△BCE、等边△ACF。
（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；（2）如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和。
题目简要分析：这道题目之所以才位例第10为完全是因为第一问太简单了。
对于第二问在我们平时教学过程中很少遇见面积等的问题，尤其是面对这种面积和等的问题，不仅缺少一些直接的定理去支持这些结论，且缺少一些必要的手段和方法去证明，平时练习也相对少一些，故本题第二问得分率很低。
关于第二问本文提供3种解法，仅供参考。
解法一：解题思路：观察AF∥BC，在△ABC中利用平行四边形构造一个三角形面积等于S△ACF，证明余下部分面积等于S△BCE即可（很容易能观察出△DAM≌△BAC≌△EMC，剩余部分DBEM是平行四边形，对角线平分面积）解：（1）AB=CE,AC=BE,AF=BE，S△ABC=S△ABD等等（2）过A作AM∥FC交BC于M，连结DM、EM。
∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，∴∠ACB=∠CAF∴AF∥MC∴四边形AMCF是平行四边形.又∵FA=FC，∴四边形AMCF是菱形.∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，且S△MAC= S△ACF在△BAC与△EMC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE,∴△BAC≌△EMC.∴AB=ME又∵AB=DB∴DB=ME又∵∠DAM=∠DAB+∠BAM，∠BAC=∠CAM+∠BAM且∠DAB=∠CAM=60°∴∠DAM=∠BAC，在△DAM与△BAC中，AD=AB, ∠DAM=∠BAC,AM=AC∴△DAM≌△BAC∴DM=BC又∵BC=BE∴DM=BE∴四边形DBEM是平行四边形∴S△BDM= S△BEM由上所述∴△DAM≌△EMC∴S△DAM= S△EMC∴S△BDM+ S△DAM+ S△MAC= S△BEM+ S△EMC+ S△ACF即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF所用知识点：图形的分割能力，平行四边形面积，旋转，全等本题需要有类比的思想，面积和等于面积和，证明方法可类似于线段和等于线段和。
可先证明部分相等，再证明剩余部分相等。
解法二：解题思路：观察AF∥BC，AC∥BE利用平行线间等积去转换S△ACF.和S△BCE 转换后能够发现较明显的图形旋转。
连结BF，DC，AE∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAF=∠CAF+∠BAC,且∠DAB=∠CAF=60°∴∠DAC=∠BAF在△DAC与△BAF中AD=AB, ∠DAC=∠BAF,AC=AF∴△DAC≌△BAF∴S△DAC= S△BAF又∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，∴∠ACB=∠CAF∴AF∥BC∴S△BAF= S△ACF∴S△DAC= S△ACF同理可证：S△DBC= S△CBE∵∠DBC=∠DBA+∠ABC,∠EBA=∠CBE+∠ABC,且∠DBA=∠CBE=60°∴∠DBC =∠EBA在△DBC与△ABE中BD=AB, ∠DBC =∠EBA,BC=BE∴△DBC≌△ABE∴S△DBC= S△ABE又∵∠ACB=60°，∠CBE=60°，∴∠ACB=∠CBE∴AC∥BE∴S△ABE= S△CBE∴S△DBC = S△CBE∴S△DAC+ S△DBC= S△ACF+S△CBE即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF所用知识点：图形的分割能力，旋转，全等，平行线间三角形等积转换请注意：平行线间三角形等积转换是分割图形很重要的思想解法三：解题思路：由结论可知分别是4个三角形面积和，设两边AC、BC长度，利用夹角是特殊角可算出第三边AB长度，利用都是等边三角形，用边长强行表示出各三角形面积，余下就是代数整理过程。
解：过点A作AG⊥BC交BC于点G，过点C作CH⊥AF交于点H,设在△ABC中,BC=a，AC=b，所用知识点：三角函数计算，三角形面积计算（尤其是对等边三角形面积结论要很熟悉哦），建议各位同学能记忆等边三角形面积计算公式S= a2（a为边长，在选择和填空题方面可直接应用，比较方面）由本题我们可以联想到：2005年本题出现后，旋转一个古老的专题又再一次在以后的考试中活跃起来，关于面积转换和分割在近几年考试和练习中也越来越多。
现针对于旋转和面积转换分割问题列举出一些常规试题。
（一）旋转1.2009年石景山区数学二模第25题如图①，四边形ABCD中，AB＝CB，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；(2)如图②，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，若点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝120°，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论。
解题思路：第一问是一个典型的截长补短或者旋转的题目。
连接AC就能构造等边三角形，就能旋转。
第二问，多条线段关系，一定先利用各种条件尽量转化为三条线段，再求解。
发现第二问条件类似于第一问，关键条件120°位置转变，可以利用第一问结论去构造图形，转换PA+PD为一条线段。
解：(1)如图①，延长CD至E，使DE＝DA．连结AC，∵∠ADC＝120°∴∠ADE=60°∴△EAD是等边三角形．∵∠BAD=∠BAC+∠CAD∠CAE=∠DAE+∠CAD∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAD=∠CAE∴在△BAD和△CAE中BA=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE．∴BD=CE= DE＋CD=AD＋CD(2)如图②，在四边形ABCD外侧作正三角形AB' D，连结B'C，AC∵四边形AB' DP符合(1)中条件，∴B' P＝AP＋PD∵∠BAD=∠BAC+∠CAD∠CA B'=∠DAB' +∠CAD∠BAC=∠DAB' =60°∴∠BAD=∠CA B'在△ADB和△A B'C中AB=AC, ∠BAD=∠CAB' ,AD= A B'△ADB≌△A B'CB'C＝DB(i)若满足题中条件的点P在B'C上，则B'C＝PB'＋PC．∴ B'C＝AP＋PD＋PC∴BD＝PA＋PD＋PC(ii)若满足题中条件的点P不在B'C上，∵ B'C＜PB＋PC∴ B'C＜AP＋PD＋PC∴BD＜PA＋PD＋PC综上，BD≤PA＋PD＋PC。
所用知识点：旋转，截长补短，构造前一问图形，三角形三边关系，全等。
请注意：在几何问题中第二问常常用到第一问的结论。
要善于去构造第一问的图形或结论去帮助解决较难的第二问。
2. 如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由。
解题思路：本题是典型的旋转题目，条件中有较多等边三角形，伴随等边三角形的旋转，图中各点连线构成的三角形也在旋转，通过全等后，注意利用全等结论“边等”和“角等”的转换，本题应该可以轻松破解。
所用知识点：旋转，勾股定理，相似比与面积比关系请注意：全等后的结论一定要多利用，多与之前已有的条件相结合，尤其是角，这样方面我们去导角，从而进行下一次的转换3.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．解题思路：（1）典型SAS全等（2）利用第一问结论，转化条件后，再用一次全等(3) 利用（1）(2)中结论，构造图1，利用线段长度放在RT△中计算所用知识点：旋转，勾股定理本题相对前两题较简单，但是前两题中所用到的，“多利用前面问题的结论，多构造前面问题图形”“全等后的结论的利用，与已知条件相结合”在这道题目中都有所展现。
（二）平行线间等积转化如图ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米，求△CDF的面积。
解题思路：明显△ADE与△CDF不全等，故不考虑全等证明。
图中有多组平行线，可以构造平行线间三角形等积转化提示：S△ADE=S△AEC=S△AFC=S△DFC=4平方厘米（解法二：分别以AE,DC为底强行构造出S△ADE和S△DFC的表达式，利用相似去计算表达式相等，同学们可自行完成）(三) 操作能力平分面积（1）（08年西城一模）如图：梯形纸片ABCD，AD∥BC，，设AD=a，BC=b请你设计两种方法，只需用剪刀剪一次就将梯形纸片ABCD分割成面积相等的两部分，画出设计的图形并简要说明理由。
解题思路：①直接构造梯形面积一半S=1/4（a+b）h，利用高h不变，构造底=1/2（a+b）的三角形；②将梯形转化为面积相等的平行四边形，利用过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形面积，从而平分梯形面积。
解：方法一：如图①，取BM=（a+b）/2，连接AM．AM把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分．方法二（如图②）：1.取DC的中点G，过G作EF∥AB，交BC于点F，交AD的延长线于点E．2.连接AF，BE，相交于点O．3.过O任作直线MN，分别与AD，BC相交于点N、M，沿MN剪一刀即把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分．（2）.已知四边形ABCD，在AD上求一点P，使BP平分四边形ABCD的面积（四边形ABCD 是任意的）解题思路：因为在AD上找一点，可以将四边形ABCD转化为面积以AD所在直线为底的面积相等的三角形，通过中线平分三角形面积，从而平分四边形面积。
解：如图1).连结BD ，过C作CE∥BD交AD的延长线于E2).连结BE ，则四边形ABCD的面积等于三角形ABE的面积3).取AE的中点P ，连结BP 即可。