（04湖南）
3. 向 量 的 夹 角 ：
3. 向 量 的 夹 角 ：
例 2. 设m、n是两个单位 向量，其夹角为 60，试求向量 a 2m n与b 2n 3m的夹角.
练
习
已知向量a,b非零且满足(a - 2b) a,
(b - 2a) b则a与b的夹角为________
A. π
B. π
(2)
a
b
a
b
0
(1) e a a e acos
(2)
a
b
a
b
0
(3) 当a与b同向时，
a
b
(1) e a a e acos
(2)
a
babFra bibliotek0(3) 当a与b同向时，
a
b
a
b
(1) e a a e acos
(2)
a
b
a
b
0
(3) 当a与b同向时，
a
b
a
b
当a与b反向时，
平面向量的数量积
一、复习巩固
一、复习巩固
1. 向量的数量积的定义是什么？
一、复习巩固
1. 向量的数量积的定义是什么？
2.
向量数量积a
b的几何意义
是什么？
3. 向量数量积的运算律：
3. 向量数量积的运算律：
(1)
a
b
b
a
( 2)
( a)
b
(a
b)
a
(b )
(3)
( a
b)
c
a
c
b
b
的夹角
.
a
b
(1) e a a e acos
(2)
a
b
a
b
0
(3) 当a与b同向时，
a
b
a
b
当a与b反向时，
a
b
a
b
特别地，a a
特别地，a a a2
特别地，a a a2 或 a
特别地，a a a2 或 a a a
特别地，a a a2 或 a a a
(4) cos
特别地，a a a2 或 a a a
C. 2π D. 5π
6
3
3
6
（04福建）
4. 向量垂直问题 ：
4. 向量垂直问题 ：
例 3. 已知 a 3，b 4，且a
与b不共线，当且仅当k为何值时，
a
kb与a
kb相互垂直
？
练习
例 4. 已知 a、b 都是非零向量，
且
a
3b
与
7 a
5b 垂直，a
4b与
7a
2b 垂直，求
a与
c
二、新课讲授
二、新课讲授
1. 数量积的重要性质：
二、新课讲授
1. 数量积的重要性质：
设 a、b都是非零向量， e是与b方向相同的单位向
量， 是 a与e的夹角，则
(1) e a a e
(1) e a a e acos
(1) e a a e acos
(2)
a
b
(1) e a a e acos
(4) cos aabb
特别地，a a a2
或 a a a
(4) cos aabb
(5)
a
b
a
b
2. 利用性质求向量的模：
2. 利用性质求向量的模：
例 1. 已知a与b都为单位向量，
它们的夹角为60，则
a
3b
(
)
A. 7 B. 10 C. 13 D. 4
（04全国）
练
习
已知向量a (cosx,sinx),向量b ( 3,1) 则 2a b的最大值，最小值分别为： A.4 2,0 B.4,2 2 C.16,0 D.4,0