2018北京市朝阳区高一（上）期末数 学 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}1A x x =∈>Z ，{}04B x x =<<，则 A ．{2,3}A B =B ．AB =RC ．{1,2,3,4}AB =D ．AB =∅2．已知平面向量(,4)m =a ，(1,2)=-b ，且a ∥b ，则m = A ．8-B ．2-C ．2D ．83．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则A.110x y -> B.cos cos 0x y -> C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +>4．函数()338xf x x =+-的零点所在的区间为A. ()01，B. 3(1)2， C. 3(3)2， D. ()34，5.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，且()30f =，当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图所示，则不等式()e 1f x <的解集是 A.()0,3 B. ()[5,3]0,3-- C. ()[5,3)0,3-- D. ()(]3,03,5-6.在△ABC 中，若AB AC AB AC +<-，则△ABC 的形状为 A. 锐角三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形7. 将函数sin 2y x =图象上的点(,1)P t 向右平移(0)s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin(2)3y x π=-的图象上，则A. ,4t k k π=+π∈Z ，s 的最小值为3πB. ,4t k k π=+π∈Z ，s 的最小值为6πC. ,2t k k π=+π∈Z ，s 的最小值为6πD. ,2t k k π=+π∈Z ，s 的最小值为3π8.定义域为(,0)(0,)-∞+∞的函数()f x ，满足()2()f x f x -=-，若函数sin 1(0)y x ωω=+≠与()y f x =图象的交点为(,),1,2,3,,i i x y i m =（m *∈N ），将每一个交点的横、纵坐标之和记为,1,2,3,,i t i m =（m *∈N ），则123m t t t t ++++=A.mB.mωC. 2mD.2mω第二部分（非选择题 共80分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知1sin 3α=，(,)2απ∈π，则cos α= ,tan α= . 10．已知函数()22,0,log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩-则(1)-=f ___；若1()2=f x ，则=x ___.11．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，(=a ，1=b ，则⋅a b = ；2a b -=___.12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称. 若角α的终边经过点(3,4)，则tan()αβ-=____.13．已知函数32,,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩（m ∈R ），（1）若1=-m ，则函数()f x 的零点是 ；（2）若存在实数k ，使函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则m 的取值范围是 . 14．对任意两个非零的平面向量m,n ，定义一种运算“*”为：⋅*⋅m n m n =n n．若平面向量a,b 的夹角(0,)4θπ∈，且*a b 和*b a 的值均为集合{|,}2kt t k *=∈N 中的元素，则**a b+b a =__.三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分12分）函数()f x 的定义域为A ，关于x 的不等式22(23)30x a x a a -+++≤的解集为B .（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若A B A =，试求实数a 的取值范围.已知函数22()2sin cos cos sin f x x x x x =⋅-+，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[]π20，上的最大值和最小值．17．（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的图象经过(1,4),(1,0),(1,0),(3,0)A B C D --四个点中的三个. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的最小值；（Ⅱ）求证：存在常数m ，使得当实数12,x x 满足12x x m +=时，总有12()()f x f x =.函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为广义奇函数.（Ⅰ）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为广义奇函数，并说明理由； （Ⅱ）设函数1()2xf x t=+，其中常数t 0≠，证明()f x 是广义奇函数，并写出201720162+的值；（Ⅲ）若()f x 是定义在R 上的广义奇函数，且函数()f x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()f x 是否为周期函数？若是，求出()f x 的一个周期，若不是，请说明理由.数学试题答案二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）函数()f x =的定义域满足：10,20,x x ->⎧⎨->⎩则集合(1,2).A =…………4分（Ⅱ）解不等式22(23)30,x a x a a -+++≤可得()(3)0x a x a ---≤. 解得[,3].B a a =+若,A B A =则.A B ⊆所以1,3 2.a a ≤⎧⎨+≥⎩解得： 1 1.a -≤≤则a 的取值范围是[1,1]-.………………………………………………………………12分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()f x =sin 2cos2x x -)4x π=-.所以函数()f x 的最小正周期为2π= π2T =. 令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤ 得37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z .所以函数()f x 的单调减区间为3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．…………………7分 （Ⅱ）因为π02x ≤≤， 所以ππ3π2444x -≤-≤．所以 当π242x π-=，即3π8x =时， 函数()f x有最大值3π()8f =当π2,44x π-=-即0x =时，函数()f x 有最小值(0) 1.f =-………………13分（17）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为(1,4),(1,0)A B --横坐标相同，所以函数图象不能同时经过,A B 两点； 因为(1,0),(1,0),(3,0)B C D -纵坐标相同，所以二次函数图象不能同时经过,,B C D 三点，所以()f x 的图象经过,,A C D 三点.设2()f x ax bx c =++（0a ≠）.将,,A C D 三点坐标代入，可以解得13,2,22a b c ==-=.所以221311()2(2)2222f x x x x =-+=--. ()f x 的最小值为1(2)2f =-. …………………………………………………………7分（Ⅱ）证明：因为12x x m +=，所以21x m x =-.22221111113113()()()2()(2)222222f x f m x m x m x x m x m m =-=---+=+-+-+，又211113()222f x x x =-+， 所以，12()()f x f x =成立，当且仅当222,120,2m m m -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩ 即4m =. 所以存在实数4m =，使得当实数12,x x 满足12x x m +=时，总有12()()f x f x =.……12分（18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1()1f x x=-是广义奇函数. 理由如下： 1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x+-=-+， 即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+.所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立, 即2,0.b a =-=从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 所以1()1f x x=-是广义奇函数. ……………………………………………………3分（Ⅱ）记()f x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()f a x f a x b -++=恒成立，即1122a xa xb tt-++=++恒成立.所以22(2)(2)a x a x a x a x t t b t t +-+-+++=++， 化简得，22(1)(22)(2)2a x a x a bt b t t +--+=+-. 所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=.因为0t ≠，可得1b t=，2log ||a t =, 即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2xf x t=+是广义奇函数. 由以上证明可知，()h x =是广义奇函数，对21log |,22a b ===-，有11()()22h x h x ++-=(0)x ≠，即()(1)h x h x +-=1()2x ≠，故20172016122016()()()20172017201722120162************[()()][()()][()()]1008(201720172017201720172017h h h h h h h h h +=+++-=++++++=⨯=- ………………………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）因为()f x 是定义在R 上的广义奇函数，且函数()f x 的图象关于直线x m =对称， 所以有()()f a x f a x b -++=，()()f m x f m x +=-恒成立. 由()()f m x f m x +=-得()(2)f x f m x =-. 由()()f a x f a x b -++=得()(2)f x f a x b +-=.所以(2)(2)f m x f a x b -+-=①恒成立. 把x 用22m a x -+代换得(2(22))(2(22))f m m a x f a m a x b --++--+=，即(2)(42).f a x f a m x b -+--=②由①②得：(2)(42)(44(2)).f m x f a m x f a m m x -=--=-+-当a m ≠时，()f x 为周期函数，44a m -是函数()f x 的一个周期.当am =时，由①得(2)2b f a x -=，从而()2bf x =对x ∈R 恒成立. 函数()f x 为常函数，也为周期函数， 任何非零实数均为函数()f x 的周期. …………………………………………………13分。