第 1 章 习 题1、 求函数()D Cz By Ax u +++=1的等值面方程。

解：根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为)( ),,(为常数c c z y x u =。

设常数E ，则，()E D Cz By Ax =+++1， 即：()1=+++D Cz By Ax E针对不同的常数E （不为0），对应不同的等值面。

2、 已知标量场xy u =，求场中与直线042=-+y x 相切的等值线方程。

解：根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：42+-=y x ，代入标量场C xy =，得到： 0422=+-C y y ，满足唯一解的条件：02416=⨯⨯-=∆C ，得到：2=C ，因此，满足条件的等值线方程为：2=xy3、 求矢量场z zy y y x xxy A ˆˆˆ222++=的矢量线方程。

解：由矢量线的微分方程：zy x A dz A dy A dx ==本题中，2xy A x =，y x A y 2=，2zy A z =， 则矢量线为：222zy dzy x dy xy dx ==，由此得到三个联立方程：x dy y dx =，z dz x dx =，zy dz x dy =2，解之，得到： 22y x =，z c x 1=，222x c y =，整理， y x ±=，z c x 1=，x c y 3±=它们代表一簇经过坐标原点的直线。

4、 求标量场z y z x u 2322+=在点M (2,0,-1)处沿z z y xy xx t ˆ3ˆˆ242+-=方向的方向导数。

解：由标量场方向导数的定义式：直角坐标系下，标量场u 在可微点M 处沿l 方向的方向导数为γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂α、β、γ分别是l 方向的方向角，即l 方向与z y xˆˆˆ、、的夹角。

αcos 、βcos 、γcos 分别是l 方向的方向余弦。

422==∂∂MMxz xu，04==∂∂M Mzy y u，1223222=+=∂∂M M y z x z u 令：84222422294)3()()2(zy x x z xy x ++=++=∆则：542cos =∆=M Mx α，0cos 2=∆-=MMxy β，53cos -=Mγ，45360516cos cos cos -=-+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂M MM M z u y u x u t u γβα 5、 求标量场z y x xy z y x u 62332222--++++=在点M (0,0,0) 、点M (1,1,1)处的梯度，并找出场中梯度为0的点。

解：由梯度定义：z zu y y u x x u u ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 则：z z y x y xy x z z u y y u x x u u ˆ)66(ˆ)24(ˆ)32(ˆˆˆ-+-++++=∂∂+∂∂+∂∂=∇z y x u ˆ6ˆ2ˆ3)0,0,0(--=∇ y xu ˆ3ˆ6)1,1,1(+=∇ 若要梯度为零，则需使得梯度中各项分量为零，即：032=++y x 024=-+x y066=-z解之，得到：1,1,2==-=z y x即，在点（-2，1，1）处，标量场的梯度为零。

6、 设z z y y xx r ˆˆˆ++=，r r =，n 为正整数。

求r ∇、n r ∇、()r f ∇。

解：根据题意及梯度定义：rr z z y y x x r z z y y x x r z y x z y x z y x r =++=++=++∇++=++∇=∇-)ˆˆˆ(1)ˆ2ˆ2ˆ2(121)()(21)(22221222222 r nr r r nr rnr r n n n n 211---==∇=∇ rrr f rr f r f )(')(')(=∇=∇ 7、 求矢量场z z y y xx A ˆˆˆ333++=在点M (1,0,-1)处的散度。

解：由题意及散度定义： 222333z y x A ++=⋅∇，将M(1,0,-1)代入：得到：6303=++=⋅∇MA8、 设a为常矢量，z z y y xx r ˆˆˆ++= ，r r =，求()a r ⋅∇、()a r 2⋅∇、()a r n ⋅∇，证明a r a =⋅∇)( 解：由散度运算公式：1）()ra r r a r r ar a r a r⋅=⋅+⋅=⋅∇+⋅∇=⋅∇0 2）()ar r a r r r ar a r a r⋅=⋅+⋅=⋅∇+⋅∇=⋅∇20222223）()ar nr a r r nr r a r nr ar a r a r n n n n n n n⋅=⋅=⋅+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇---21104）证明： 因为：zy x z y x za ya xa z y y y x x z a y a x a r a ++=++⋅++=⋅)ˆˆˆ()ˆˆˆ(且：xa ，y a ，z a 均为常数，所以有：a z a y a xa r a z y x =++=⋅∇ˆˆˆ)( 得证。

9、 设无限长细直导线与z 轴重合，其上有沿正z 轴方向流动的电流I ，导线周围的磁场()()y x xy yx IH ˆˆ222+-+=π计算H⋅∇。

解：由题意及散度的定义：()()y x xy yx IH ˆˆ222+-+⋅∇=⋅∇π22222)(/2-+=∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂-=∂∂y x xy Ix y x yIx H x ππ22222)(/2-+-=∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂=∂∂y x xy Iy y x x I y H y ππ∴=∂∂+∂∂=⋅∇y H x H H y x 10、已知xy y x u 222+-=，求u 2∇。

解：由题意及散度运算性质：)(2u u ∇⋅∇=∇y y x xy x z z uy y u x x u u ˆ)22(ˆ)22(ˆˆˆ-++=∂∂+∂∂+∂∂=∇22)ˆ)22(ˆ)22(()(=-=-++⋅∇=∇⋅∇y y x xy x u所以：02=∇u11、计算下列矢量场的旋度：（1）()()z xyz y xz y xz y x A ˆ2ˆˆ3232+-++=； （2）z xy y zx x yz A ˆˆˆ222++=； 解：由矢量场旋度定义式，可得：1）()()()()()z x z y yz xxz z x z y yz x xz xz z y A x A y x A z A x z A y A A A A z y x z y x A x y z x y z zyxˆ3ˆ21ˆ4 ˆ3ˆ21ˆ22 ˆˆˆˆˆˆrot 2222+--+=--+-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=2）()()()z z xz y y yz xx xy z y A x A y x A z A x z A y A A A A z y x zy x A x y z x y z zy x ˆ2ˆ2ˆ2 ˆˆˆˆˆˆrot 222-+-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=12、已知x e u =，z y y x xz A ˆˆˆ222++=，计算()A u⨯∇。

解：由题意及矢量的旋度运算公式：())ˆ)2(ˆ)2(ˆ2()ˆ2ˆ2ˆ2ˆˆ()ˆ2ˆ2ˆ2(ˆ2222z x x y y z xy e z x y z x y z x yy e z x y z x y e A xe Au A u A u x xx x ++-+=++++-=+++⨯=⨯∇+⨯∇=⨯∇13、已知z z y y xx r ˆˆˆ++= ，r r =，a 为常矢量，求r ⨯∇、()[]r f r ⨯∇、()[]r f a ⨯∇。

解：1）z ˆ)-(yˆ)-(x ˆ)-(r =∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⨯∇y x x y xz z z x z yy z2）()[]0)(')(')()()(r f r =⨯=⨯∇=⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇rrr r f r r r f rr f rr f r r f3）()[]a r r f rar r r f a r r f ar f ar f a r f r f a⨯=⨯=⨯∇=⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇)('1)(')(')()()(14、已知z xy y z xy A ˆˆ2ˆ32++= ，z x x B ˆ4ˆ2-=，求()B A ⨯⨯∇。

解：由题意及运算规则，先求出B A⨯，再求旋度：ˆˆˆxy z xy zxy z A B A A A B B B ⨯= 22ˆˆˆ 3204x y z y z xy x =-ˆˆˆ ()()()y z z y z x x z x y y x A B A B xA B A B y A B A B z =-+-+- 2322ˆˆˆ =8(12)2z x x y y y x z z -++- ()A B ∇⨯⨯2322ˆˆˆ(8(12)2)z xx y y y x z z =∇⨯-++- 22322232(2)(12)(8)(2)(12)(8)ˆˆˆx z x y y z x z x y y z x y z y z z x x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂-∂+∂-∂-∂+∂-=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦22ˆˆ(416)3xz z yx yz =-+ 15、已知位于坐标原点处电量为q 的点电荷产生的电位移矢量D 为34r r q D π =，其中z z y y xx r ˆˆˆ++=，r r=，计算D ⨯∇和D ⋅∇。

解：由题意：1）34qrD ()πr ∇⨯=∇⨯ 33r 44q q()r πr πr =∇⨯+∇⨯31()4q r πr =∇⨯4 (3)4qr r r π-=-∇⨯43 4q rr πr r-=⨯0=2）34qrD ()πr ∇⋅=∇⋅3 ()4qr r π-=∇⋅ 33 ()()4q r r r r π--⎡⎤=∇⋅+∇⋅⎣⎦ 43334q r r r r π--⎡⎤=-∇⋅+⎣⎦ 43 334q r r r r πr --⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦33 334q r r π--⎡⎤=-+⎣⎦ 0(0)r =≠在r=0处，D 无意义，D⋅∇不存在。

16、证明()0=∇⨯∇u ，()0=⨯∇⋅∇A。

证明： 1）由标量场梯度的定义式：z z u y y u x x u u z z y y x x u ˆˆˆˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇ ())ˆˆˆ(z zuy y u x x u u ∂∂+∂∂+∂∂⨯∇=∇⨯∇ 由z y A x A y x A zA x z A y A A x y z x y z ˆˆˆ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇ 令：z zuy y u x x u A ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂= 则：()0ˆˆˆ)ˆˆˆ(222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂-∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂⨯∇=∇⨯∇zy x u x y u y z x u x z u x y z u z y u z zuy y u x x u u 由此得证。