正交变换：
现在假设函数 构成一个正交集，即
（13）
如果 是一个正交矩阵，而 是一个次数为 的球谐多项式，在 上如果 具有这种属性，以至于 是一个 次球谐波。特别地，
（14）
因此，对于每一个正交矩阵 对应于一个矩阵 ，根据（13）和（14）我们得到：
（15）
正交变换 可以视为 中的一个坐标变换，它离开表面元素 不变，这就意味着
因此，在 中对于任意两个向量 和 我们有
这意味着 不依赖于 。因此，这是一个关于 的单独的函数。这与（18）式结合我们得到：
引理5：假设 是 中一组球谐的正交集合，然后在 中对任意的两点（或向量） 和 ，函数 只依赖于 和 的数量积。
———————————
在一维正交群构成的只有两个转换： 。
从左边很清楚这个函数是 或 的次数为 的球谐。从右边可得它对所有的离开 固定的正交转换是对称的。从而我们需要介绍一种具有同样对称性的特殊的球谐。
现在由（7）得：
，
因此 ，将（9）式代入（8）式中，交换和的秩序，得: ，所以 。
由此我们得到以下引理：
引理3n阶线性无关的球面调和函数的数量 由以下幂级数
决定，特别地当 时有
（10） 。
由引理3我们可以很精确地得到 ，当 时，由二项式展开可得
因此
（11）
如果我们设 （12）
我们得到
引理4：在 维空间存在 的线性无关次数为 的球谐 而且每个无关次数为 的球谐可以被看成 的一个线性组合。
得到
（5）
由系数相等我们的得到： ，因此，若已知 和 ，则所有的多项式 都可以知道，且线性无关的齐次调和多项式的数量与 和 的系数的数量相等。定义 为关于 的 阶齐次多项式的系数的个数，则 有如下形式：
（6）
显然 ，因此 ， 和 的系数的数量满足:
(7)
幂级数
（8）
当 时收敛。由（6）和（7）得：
（9）
我们假设
和
现在我们用通常的方法引入极坐标系
即有
通过上面两个式子我们得到一个正交集合
勒让德函数现在通过齐次调和多项式得到，这个齐次调和多项式关于 轴对称，并且在 处等于1.我们有
或者
现在令 是 和 的标量积.由（19）式，我们有
在二维的情形，函数 又被称为切比雪夫多项式.
如果点 和 有坐标 和 ，由下面的式子，我们分别有
因为函数 只可能与函数 成正比。
为了决定常数 ，我们令 ，然后得到 。
在 上积分得到 并且得到
定理2（加法定理）让 做n阶q维的求新调和函数 的正交集合。
那么
是n阶q维的Legendre多项式。
这个定理被称为加法定理归纳为 函数在二维情形中引入了极坐标以后推导出来的。
为了求出 情况下的球函数，根据这个定理我们首先求出两个n阶齐次线性无关的多项式函数。
并且有一下关系成立
因此定理2转化为函数 在二维情形的补充公式，这也解释了为什么这个结果称为球体调和函数的补充定理.
表示定理
众所周知,对于所有的三角函数都可以用一个简单的函数来代替.如果在一般的球面调和定理存在一个相关结果,那么问题就产生了.根据勒让得函数加法原理显示了它可能表示所有的球面调和.这可由定理给出，
定义2：假设 是均匀的调和的 次多项式具有下列性质：
a）对于所有的离开 不变项式。
根据这一定义，函数 是唯一确定的，根据表达式(4)，由同类多项式 和 ，函数 是唯一确定的。条件(a)说明这类多项式只由表式 确定。
因此我们得到
当 。
和
当 。
除了一系列的常数。函数 是由条件(a)确定的。常数 可以由条件(b)来确定。用参数表示(2)我们得到函数 只由 决定，因为 。
一般背景及注示
正交变换
加法定理
表示定理
加法定理的应用
Rodrigues公式
Funk-Hecke公式
球谐函数的积分表示
连带勒让德函数
勒让德函数的性质
微分方程
球谐函数的拓展
参考文献
基本背景和记号：
令 是q维欧几里得空间的一组笛卡尔坐标，这时我们有
。
表达式
这里 1)
表示的是q维单位球面上的笛卡尔系的点，记为 ，它的曲面元素为 ，其全部曲面为 ，是由 表示出来的。
由定义我们设 ，接着我们有 。
如果向量 可以构成一个正交系，我们可以用
<1>
来表示 上的点,而 是由 张成的空间的单位向量。
这时单位球面上的曲线元素可以写成
我们由上面可以得到
上面积分式子的右边可以转化为
，当q=2,3,…。
<2>
记
<3>
为拉普拉斯算子，这时我们引入
定义1:令 为q维的n次齐次多项式，同时满足
我们有
定理一：勒让德函数 可以写成如下形式 。
其中 是一个最高次数为n的多项式且满足 ； 。
定理的后两个关系式很容易证明：
当 时，对应的 ，第一个式子就是定义二的条件(b)，第二个等式可由推论一得到。
增加定理
我们现在能得出推论5的函数 ，因为我们知道这个函数是关于 的 次球简谐函数。如果 是由保持 不变的直角变换得到的话会变得更难改变，所以
现在我们由（15）可得
（16）
因此系数 是正交矩阵的一个元素，除了（16）我们还能得到
（17）
对于 中的任意两点 和 我们可得方程
由于（17）对于任意的正交矩阵A
因此方程 具有重要的性质就是对 和 同时进行正交变换方程不变.
用下面的正交变换的性质进一步去研究方程 ：
a)对每个单位向量 存在一个正交变换满足 .
这时称 为q维的n次（规则）球面调和函数。
由此我们马上可以得到：
引理1:
令 和 是两个次数分别为n和m的齐次调和多项式，由格林定理我们可以得到
，
同样地，在 上 和 的法向导数分别为
因此由定义（1）我们可以得到
引理2:对于m≠n时，有 ，任何q维的齐次多项式可以由下面式子代替
（4）
其中 是在点 的 阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形式
定理3：对于任意的阶数n，都有点组 ，使得任一球面调和函数 能用下述形式表达
由上可看出，任意的球面调和函数都可可写成
所以必须用Legendre函数来表示 。
b)对任意两个向量 和 有
c)对任意的单位向量 存在正交变换群的一个子群，使 固定不变
把这些向量 转化成已给的单位向量 即
勒让德函数：
我现在使用这些属性去研究我们的函数 。从形式（a）中我们将 转换为 。然后通过（2）式， 将被表示为下列形式：
（18）
通过（b）式，在进行转换之前我们知道 的只也是 和 的数量积的值。通过（18）式，可以看出不动点子群 同构于 维正交群。