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《概率论与数理统计》习题册答案

三、计算题
1、 X ~ B(3, 0.4) ,则随机变量的概率函数为
X
0
1
2
3
P
27
54 36
8
125 125 125 125
其分布函数为:
0 , x0
27
,0
x
1
125
F ( x)
81 125
,1
x
2
117 125
,2
x
3
1 , x 3
2、(1) A 24 ;
(2)
fX
(x)
12x2 (1 0
第一章 随机事件与概率 § 随机试验 随机事件 一、选择题 1. 设 B 表示事件“甲种产品畅销”,C 表示事件“乙种产品滞销”,则依题意得 A=BC.于
是对立事件 A B C 甲产品滞销或乙产品畅销 ,故选 D.
2. 由 A B B A B B A AB ,故选 D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间
AB A B , A B , 因 为 AB 且A B , 所 以 A 与 B 是 对 立 事 件 , 即
A B,A B 。所以, P(A B) P(A B) 1, 于是 P(A B) P(A B) 2
二. 选择题 1. D; 2. B;3. A;4. D;5. B
1. 已知 P(A B) P(A B) 1, 又 P(A B) P(A B) 1, 所以 P(A B) P(A B), 于是
,;
(2) e2 e4 。
0
, x0
0
, y0
3、FX
(x)
1 2
(sin x
1
cos x),0
x
2
,FY
( y)
1
2
(sin
y
1
cos y),0
y
2
1
, x 2
1
, y 2
二维离散型与连续性随机向量的概率分布 一、填空题
1、 7
8
;2、
j 1
pij

i 1
pij
;3、 1 4
三、 证明题
提示: D(XY) E XY E(XY)2 E XY EX EY)2
E XY YEX YEX EX EY )2 EY (X EX ) EX (Y EY )2 DX DY
P(A) 2! 2! 1 7! 1260
二、求解下列概率
1. (1)
C52 C82
0.36 ;
(2)
C31C755! C86 6!
C31 A75 A86
0.375
2.
1
A142 124
0.4271
3. 由图所示,样本点为随机点 M 落在半圆 0 y 2ax x2 (a为正常数) 内,所以样本
F (b)
2
二、选择题 1、D;
三、计算题
2、A;
1.解:由题意知随机变量 X 的分布列(律)为
X3
4
5
P1 3 6
10 10 10
所以得随机变量 X 的分布函数为
0, x 3
1 ,3 x4
F ( x)
10 4
,
4
x
5
10
1,
x5
2.解:(1)由条件知,当 x 1时, F(x) 0 ;
空间测度可以用半圆的面积 S 表示。设事件 A 表示远点 O 与随机点 M 的连线 OM 与 x 轴的
夹角小于 ,则 A 的测度即为阴影部分面积 s , 4
所以
P(A)
s S
a2 a2 42
a2
1 1 2
a
2
§概率的性质
一. 填空题
1.; 2.
1 p ; 3.
1
; 4.
7
6 12
a 2a
( 2 ) A 1,3,5 , B 1,2 ,4 ,5 , A B 2 ,3,4 ,6 , AB 6 , A B 1,5
四、(1) ABC ;(2) ABC ;(3)“ A、B、C 不都发生”就是“ A、B、C 都发生”的对立 事件,所以应记为 ABC ;(4)A B C ;(5) “ A、B、C 中最多有一事件发生”就是“ A、B、C 中至少有二事件发生”的对立事件,所以应记为: AB AC BC .又这个事件也就是 “ A、B、C 中至少有二事件不发生”,即为三事件 AB、AC、BC 的并,所以也可以记为 AB AC BC . § 随机事件的概率 一、填空题
4、
1
1
e
1 2
1 (1)
随机变量函数的概率分布
一、填空题
1、
Y
3 1 1
3
7
P
3
4
5
4
4
20 20 20 20 20
Z
9
4
1
0
P
3
8
5
4
20 20 20 20
2、
fY
( y)
1, 0 0,
y 1 其它
二、选择题 1、B;
三、计算题
2、D;
1、
f
( y)
1,0 0,
y 1

else
0,
x),0 ,
x 1, 其它
fX
(x)
12y(1 0
y 2 ),0 y 1; , 其它
(3)不独立;
(4)
f X |Y
(x
|
y)
2(1 x) (1 y)2
,0
x
1,0
y
1 ,
fY|X
(y
|
x)
2y
x
2
,0
x
1,0
y
1

0 ,
其它
0 ,
其它
3、(1)
fZ
(z)
ze z 0 ,
解答题
1. 2. (1);(2)
3.(1) 0.943;(2) 0.848
§ 贝努利概型与二项概率公式 一. 填空题
1. 1 (1 p)n , (1 p)n np(1 p)n1 ;2. 2 3
二. 解答题
1. .
2. 0.94n , Cnn2 (0.94)n2 (0.06)2 ,1 n(0.94)n1(0.06) (0.94)n
1. 3, 4, ,20 2 0,100 3. {(x, y, z) | x 0, y 0, z 0, x y z 1}, x, y, z
分别表示折后三段长度。 三、(1)任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验,易知共有 6 个不同的结果.设试验
的样本点 i "出点i点", i 1, 2,3, 4,5, 6 ;则 A 2 ,4 ,6 , B 3,6
1. 试验的样本空间包含样本点数为 10 本书的全排列 10!,设 A 指定的3本书放在一起 ,
所以 A 中包含的样本点数为 8!3!,即把指定的 3 本书捆在一起看做整体,与其他三本书全排, 然后这指定的 3 本书再全排。故 P(A) 8!3! 1 。
10! 15 2. 样本空间样本点 n 7! 5040 ,设事件 A 表示这 7 个字母恰好组成单词 SCIENCE,则 因 为 C 及 C, E 及 E 是 两 两 相 同 的 , 所 以 A 包 含 的 样 本 点 数 是 A 2!2! 4 , 故
z0
2、 f Z (z) 1 ez , 0 z 1
(e 1)ez , z 1
0, z 0
0 , z0
3、
fZ
(z)
1 2
,0
z
1;
FZ
(z)
z 2
,0 z 1
1, z 1
1
1 2z
,
z 1
第二章测验 一、填空题
1、 1 ;2、 3 4 ;3、 0 ;4、 0.2 4
二、选择题 1、C; 2、A; 3、B
二、计算题 1.: , 提示: 设
0, 部件i个不需要调整 Xi 1, 部件i个需要调整
则 X1 , X 2 , X3 相互独立,并且 X X1 X 2 X3 ,显然 X1 B(1, 0.1) ,
X 2 B(1, 0.2) , X3 B(1, 0.3)
2.:1/3,1/3 ; 3.: 16/3 ,28
得 P( AB) P( AB) ,注意到 P( AB) P( A) P( AB), P(B) 1 P(B), 代入上式并整理后 P(B) P(B)
可得 P(AB) P(A)P(B) 。由此可知,答案 D。
三. 解答题
1. 3 ,3 ; 2. 2
10 5
n
§ 全概率公式和逆概率(Bayes)公式
a
a
Байду номын сангаас
k
1
根据公式
k 1
kxk 1
k 1
xk
'
x 1 x
'
1 1 x 2
( x 1) 得到
a
1
E(X )
(1 a)2
1
1
a
a
2
a
2. 0 ;3.: 2 a
4. 2/3,4/3 ,-2/3,8/5 ; 5.4/5,3/5,1/2,16/15
方差
一、填空题 1. 0.49 ;2. 1/6 ; 3. 8/9 ;4. 8 ,
;4、 1 4
二、计算题
1、 c
1;
fX
(x)
ex , x 0 , x
0 0

fY
( y)
( y
1 1)2 0
, ,
y y
0 0
2、(1)
f
(x,
y)
6, (x, y) D 0, 其它
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