在系统工程中，一个系统通常可以用n个变量完全 描述清楚。我们以向量X 记这n个变量，并称之为
状态向量。系统的运动方程可以用时间间隔
［T1,T2］上的状态方程来表示：
X ' f(x,u ,t)t, [T 1 ,T 2]
其中Ｘ是n 维状态向量；u是r维（r < n）控制向量，
它是从系统之外按一定要求施加到系统上来的；f 是n 维向量函数。
规律 u(t) 使相应的品质指标(cost function, 代 价函数或目标函数)
r
J(u)K [x(T)T ,] L(x,u,t)dt t0
达到最小．这里第一项代表了对终端条件的 要求，第二项代表了对整个变化过程的要求， 而总的品质指标是这两方面要求的综合．
• 最优控制问题的一般提法应为：给定了系统的状态
• 广义解，目标泛函
反问题Au =z 的广义解：
u∈U， z∈Z
对于给定的z∈Z在集U上使 Au z 取 极小值的u*∈U, 称为方程Au=z在U上的广
义解。
若z∈AU，广义解等于经典解。(AU为U的 映象), 为. 距离。
经典解解不存在: z不属于AU
• 假定算子方程 Au =z 的逆算子A-1存在但不连续依赖 于z，由u=A-1z计算u不再现实。正则化的思想是构造 一个连续的算子去逼近A-1，从而得到稳定的（但是近
如果将由“原因”推得“结果”的问题称为正问题， 则由“结果”推求“原因”的问题可称为反问题。
正问题 z=R(u)
这里算子R 已知，由u求z为正问题。反问题是原来
的已知条件未知（或部分未知），而原问题的解已
知，即由z求u的问题，形式上可写为
u=R-1z
这里R-1是R 的逆算子。我们要研究的反问题一般 是指R-1的显式表达式不可知的情况，只能由u的 “表现”z间接推求u。
JB JO
这里x0=x(0), xt=x(t). xt是由下面的预报模式产生的解:
X F (x ), 0 t
t
x (o ) x 0
离散形式
J x 0 ) ( 1 2 x 0 x B T B 1 x 0 x B 1 2 r n 0 ( H r (0 ) x y r ) T O 1 H r (0 ) x y r
• 四维变分同化的基本思想是调整初始场，使由此 产生的预报在一定时间区间（同化窗口）τ内与观 测场距离最小
4DVAR示意图：
按照这样的思想，四维同化变分同化可以表述为极 小化下面的目标泛函：
J (x O ) 1 2 x O x B T B 1 x O x B 1 2 0 (y t H (x t))T O t 1 y t H (x t)d t
空间中某一个点集Ｓ中的一个点．集合Ｓ常称为目 标集．当Ｓ只是状态空间中的一个确定的点时，称 终端是固定的．当Ｓ是整个状态空间时，称终端是
自由的)
根据这些要求所求得的控制函数称为最优控 制或极值控制，记为u*（t）．而相应的状态 向量称为最优轨迹或极值值轨迹，记为X*(t）
• 待定边界形状的反问题—几何反问题。
• 还有的反问题是几类相混合。
解反问题的主要困难——不适定性
解的存在性、唯一性和稳定性不满足
吉洪诺夫的论著《不适定问题的解法》首 先引入“条件适定”的概念，基本思想是： 放弃求精确解转而求近似解解决了解不存在 的困难；近似解总存在，但不唯一，此时再 加适当约束条件，找出具有稳定性的解来。
方程以及品质指标和初始条件（t0, x0），目标集Ｓ， 控制域Ｕ后，要寻找一个容许控制u*（t），使系统 在时间间隔［t0, T］上由初始状态X0转移到目标集Ｓ
上的某一点Xr，且使相应的品质指标J（u）为极 小．这里终端时间T可以是固定的，也可以是自由 的．
(容许控制的作用下，系统由初始状态X0转移到终端 状态XＴ．有些情况，我们要求终端状态应该是状态
由方程可以看出，只要f 满足一定的条件，在确定 的初始状态下，如果在时间间隔［t0, T］ ［T1, T2］ 上给定了一个控制规律u＝u（t）, 那末状态方程在 ［t0,T］上将有唯一解。这个解表示了系统的相点 在n维状态空间的一个运动．
控制规律u不同时，相应的系统运动也是不 同的．所谓最优控制问题就是要选择适当的 控制
第7讲 大气资料的四维变分同化方法
• §1 四维变分同化基本原理
四维同化的概念-利用模式消化吸收多时刻观测， 不断改进预报，优化大气状态的估计。
变分方法是一种实现四维同化的有力工具。
• 在进行大气资料分析时，我们有两种基本的可用 信息：（1）观测；（2）大气遵循的物理规律。 前面我们在作资料分析中用到过一些简化的物理 约束，四维变分同化利用完整的大气模式来作为 物理约束。
一个简单的例子
扩散－输送问题
定解条件：
c tu(x) x c x(k(x) x c)0x[xa,xb]
c(0,x)c0(x)
c(t,xa)g1(t)
几类反问题：
c(t,xb)g2(t)
• 待定微分方程中的未知参数的反问题—算子识别；
• 待定初始条件的反问题—逆时间过程问题；
• 待定边界条件的反问题—边界控制问题；
似看作预报模式（方程）的解的某种函数，那末上 面表述的四维变分同化就是由观测反演初值的问题。 四维变分同化的一个显著特点是利用了过去时间的 观测资料，而且同化后的场是模式的一个预报场， 不会出现不协调的问题。四维变分同化方法还有能 力从一部分观测变量去反演另外的变量。比如，由 高度的观测反演风场。
• 关于反问题的进一步讨论
似的）解。具体而言，他将求稳定的反问题的解归结 为求下面泛函的极小值：
M z ,u A z u (u )
(非u)负泛函,δ:观测误差.α正则系数，比如罚函数：
I xxbaW(H()Y)2dd22x2dx
如何定α? 给出α让 Au≈zδ
迭代。
2, 最优控制理论
• 四维变分同化将问题提为一个最优控制问题。 最优控制问题的一般提法：
（n=0 成为三维同化）
• 4DVAR是微分方程反问题解的问题作为正问题，那末，已知方程的解 （部分解）或解的某种函数反求定解条件或者方程 的一些未知项的问题被称之为微分方程的反问题。 因此，四维变分同化也是一类微分方程的反问题。
求反问题的解的过程称为反演。我们可将观测y近