定义10.6.1对非空集合上的关系，如果是自反的、对称的和传递的，则称为上的等价关系。

等价关系的例子很多，如平面上三角形集合中，三角形的相似关系是等价关系；上海市的居民的集合中，住在同一区的关系也是等价关系。

等价关系的关系图具有以下特征：
1．每个结点都由自回路，即R是自反的；
2．两个结点a,b之间若有从a指向b的弧，就有从b指向a的弧，即R是对称的；
3．若有从a指向b的弧，且有从b指向c的弧，就有从a指向c的弧，即R是传递的。

第9章给出了用平面坐标系中的矩形表示笛卡儿积的图形表示法。

显然可以用正方形表示
，如图10.6.2(a)所示。

A上的关系是的子集，因此可以用正方形的子集表示。

A上的等价关系可以用正方形的一条对角线和线上的若干正方形表示。

如图10.6.2(b)所示。

但图10.6.2(c)所表示的关系不是等价关系。

它包括了对角线，所以有自反性。

它以对角线为对称轴，所以有对称性。

但它没有传递性。

因为R中的a和b点对应的有序对，经传递得到c点对应的有序对应在R中，但c点不在R中。

图10.6.2
例1在非空集合A上的恒等关系和全关系都是等价关系。

在所有谓词公式的集合上的等值关系也是等价关系。

例2集合上的关系。

其中表示可被3整除。

对任意的可被3整除。

若可被3整除，则也可被3整除。

若和
可被3整除，则可被3整除。

所以，R具有自反性、对称性和传递性，
R是A上的等价关系。

R的关系图如图10.6.1所示。

在图中，A的元素被分成三组，每组中任两个元素之间都有关系，而不同组的元素之间都没有关系。

这样的组称为等价类。

图10.6.1
定义10.6.2R是非空集合A上的等价关系，对任意的，令
则称集合为x关于R的等价类，简称x的等价类，也可简记作[x]或。

例3对例2的等价关系R,有三个不同的等价类:
，
，。

A的8个元素各有一个等价类。

各等价类之间，或者相等，或者不相交。

而且所有等价类的并集就是A。

整数集合Z上的模n等价关系，即
可以根据任何整数除以n（n为正整数）所得余数进行分类，构成n个等价类，记作
即
﹒﹒﹒﹒﹒﹒
定理10.6.1R是非空集合A上的等价关系，对任意的，成立
（1）且，
（2）若，则，
（3）若，则，
（4）。

证明
（1）对任意的，则，因此。

由等价类定义，显然。

（2）对任意的，有。

由对称性，有和传递性，有，所以。

类似可证→。

因此，。

（3）假设。

则存在，使得且。

即且，由对称性，由传递性。

与已知矛盾。

（4）对任意的。

则有。

反之，对任意的，则有。

所以，。

因此。

由定理可知，对A上的等价关系R，所有等价类的集合具有很好的性质。

定义10.6.3对非空集合A上的关系R，以R的不相交的等价类为元素的集合称为A的商集，记作。

这个定义也可以写成。

例4对例2的A和R，商集是。