二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。

及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。

虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。

二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。

由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。

一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。

例1[1]讨论223),(y x yx y x f +=，在点的极限。

解 令mx y =01lim )1(lim lim 2202402230=+=+=+→→→→→m m x m mx y x y x x mx y x mx y x应为此路径为特殊路径，故不能说明.0lim 22300=+→→y x y x y x 可以猜测值为0。

下面再利用定义法证明：0>∀ε，取εδ2=当δ<-+-<22)0()0(0y x 有ε2222<+≤y x x由于232232120x xy y x y x y x =≤-+ 即有ε<≤+222321x yx y x 故.0lim 22300=+→→y x yx y x 注意 （1）ε的任意性（2）δ一般随而变化（3）若函数以A 为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+ε，A-ε）。

(二) 由累次极限猜想极限值再加以验证先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证 例2[2]设)0(1sin)(),(222222≠+++=y x yx y x y x f 。

求),(lim 00y x f y x →→ 解 0),(lim lim 00=→→y x f y x 可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的)0,0(),(≠y x有222222221sin)(0),(y x y x yx y x y x f +≤+≤++=-， 0>∀ε 取2εδ=， 当δ<x ，δ<y ，)0,0(),(≠y x 时，就有ε<-++01sin)(2222yx y x ，即有0),(lim 00=→→y x f y x (三) 采用对数法求极限利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。

或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。

例3 求xyy x xy sin 100)1(lim +++→→解xyxyxy y x xyxyy x xyy x xy e xy e xy 1sin 001sin 100sin 100)1ln(lim )1ln(lim )1(lim +=+=+++++++→→→→→→因为1sin lim00=++→→xyxy y x 而且1ln )1ln(lim100==+++→→e xy xyy x 所以e xy xyy x =+++→→sin 100)1(lim(四) 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→1)1(lim 11lim 1sin lim 0=→xx x类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。

通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之例4[3]求（1）)(10)1(lim y x x y x x +→→+ （2）xxya y x sin lim0→→解 （1）因为e x xx =+→1)1(lim ，211lim20=+→→y x y x所以211120)(120)1(lim )1(lim e x x yx xy x y x x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++→→+→→（2） 由于0,sin sin ≠•=y y xyxyx xy , 又因为)0,(1sin sin lim00≠===→→→x t xy t tlin xy xy t a y x所以a y lin t tlin x xy a y t a y x ==→→→→sin sin lim00(五) 等价无穷小代换利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限例5 求yx y x y x ++→→)sin(lim3300解 因为,0,0→→y x 故有033→+y x所以)sin(33y x +等价于33y x + 故原式为0)(lim lim)sin(lim220033003300=++=++=++→→→→→→y xy x yx y x yx y x y x y x y x注 无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。

利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”(六) 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。

例6[4]求 ()()()()2222,32323lim -+---→→y x y x y x解 因为()()()()()()()()()32323lim2323lim222,32222,3--+---=-+---→→→→x y x y x y x y x y x y x而()()()()21232322≤-+---y x y x 为有界变量 又 ()03lim2,3=-→→x y x 故有 原式=0(七) 多元函数收敛判别方法当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。

例7[5]求 ()yx y xy x ++→→220lim解 因为()y x yy x x y x y y x x y x y x +=+<+++=++≤222222而()0lim0→+→→y x y x ，故()yx y xy x ++→→220lim(八) 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。

1、讨论当0,0→→y x ，二元函数),(y x f 的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有0→t 从而求得结果。

例8 求 22220,0)1ln(lim yx y x y x +++→→ 解 令,22μ=+y x 则当0,0→→y x 时 0→μ，于是1)1ln(lim )1ln(lim 022220,0=+=+++→→→μμμyx y x y x 2、讨论当()常数0,≠→∞→a a y x 时，二元函数),(y x f 的极限，作变量代换，相应有∞→t ，利用已知一元函数的极限公式。

例9 求 yx x a y x xy +→∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+211lim 其中0≠a解 因为xyyy x xyx x xy xy )(11112++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+当 a y x →∞→,时，令xy=t,相应有∞→t 则e t xy tt xya y x =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→→∞→11lim 11lim所以axyy y x x ay x yx x a y x e exy xy1)11ln()(lim 11lim 2==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→∞→+→∞→3、讨论∞→∞→y x ,时二元函数),(y x f 的极限例10 求 )(22,)(lim y x y x e y x +-∞→∞→+解 因为)()(2)(22)(222)()()(y x y x y x y x exy e y x e y x ey x ++++--+=+=+ 当 ∞→∞→y x ,时，令x+y=t,相应有∞→t则 0lim )(lim 2)(2,==+∞→+∞→∞→t t y x y x et e y x0lim lim 22lim ,,,=•=•∞→∞→∞→∞→∞→∞→y y x x y x y x y x eye x e y e x 所以0)(lim )(22,=++-∞→∞→y x y x e y x(九) 极坐标代换法讨论当()()0,0,→y x 时，二元函数),(y x f 的极限，必要时可以用极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，即将求),(y x f 当极限问题变换为)sin ,cos (θθr r f 求+→0r 的极限问题。

但必须要求在+→0r 的过程中与θ的取值无关。

注意这里不仅对任何固定的θ在+→0r 时的极限与θ无关，而且要求在+→0r 过程中θ可以随r 的改变而取不同的值的情况下仍然无关，才能说明),(lim,0y x f y x →→存在。

例11[6]求2222)0,0(),(lim y x y x y x +→解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，当)0,0(),(→y x 时，有+→0r 令θθθθ22222242222sin cos sin cos r rr x x y x ==+ 因为 1sin cos 22≤θθ所以0sin cos lim lim 22202222)0,0(),(==++→→θr y x y x r y x(十) 用多元函数收敛判别的方法通过缩放法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用两边夹定理来推出结果。