专题19 数列的求和一、单选题1．（2019·商丘市第一高级中学高二期中（理））数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则9S =（ ）A ．1B ．110C ．910D ．1302．（2018·甘肃省武威十八中高二课时练习）化简()()2111222222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+⨯+的结果是（ ）A ．1222n n ++--B ．122n n +-+C ．22n n --D ．122n n +--3．（2020·江西省江西师大附中高三月考（理））数列111111,3,5,7,,(21),248162n n -+的前n 项和n S 的值等于（ ） A ．2112n n +-B ．21212n n n -+-C ．21112n n -+- D ．2112n n n -+-4．（2019·福建省莆田一中高三期中（文））等差数列{}n a 中，49a =，715a =，则数列{}(1)nn a -的前20项和等于（ ） A ．-10B ．-20C ．10D ．205．（2020·珠海市第二中学高一开学考试）已知数列{}n a 且满足：142n na a +=-，且14a =，则n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020=S （ ） A ．2019B ．2021C ．2022D ．20236．（2018·厦门市华侨中学高二期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A ．3(1)2n n -++⨯ B ．3(1)2n n ++⨯ C ．1(1)2n n ++⨯D ．1(1)2n n +-⨯7．（2019·福建省厦门第六中学高二期中（理））已知数列满足，则数列的最小值是A ．25B ．26C ．27D ．288．（2020·江苏省高二期中）设函数()221xf x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ）A ．9B ．11C ．92D ．112二、多选题9．（2020·海南省高三其他）已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=10．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1111．（2020·山东省高二期末）已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=-- 12．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a=+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512三、填空题13．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS ==∑_____. 14．（2020·全国高三月考（文））已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.15．（2020·安徽省高三一模（理））已知数列{}n a 中，11a =，()*12n n n a a n N +=∈，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2n S =____________.16．（2020·山东省临沂第一中学高二期中）已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，设{}n a 的前n 项和为n S ，则6a =__________，2017S =__________． 四、解答题17．（2019·全国高一课时练习）设函数()993xx f x =+，计算124022402340234023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．（2020·福建省高三其他（文））已知数列{}n a 为递减的等差数列，1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和．19．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,33162a S =⨯=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：12111nS S S +++. 20．（2020·合肥市第十一中学高一期中）数列{}n b 满足：1122,n n n n n b b b a a ++=+=-，且1224a a ＝，＝. （1）证明数列{2}n b +为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.21．（2020·合肥市第十一中学高一期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足356,15S S ==. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设,2n nn a a b =求数列{}n b 的前n 项和nT . 22．（2011·安徽省高三一模（文））设奇函数对任意都有求和的值；数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；专题19 数列的求和一、单选题1．（2019·商丘市第一高级中学高二期中（理））数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则9S =（ ）A ．1B ．110C ．910D ．130【答案】C 【解析】()11111n a n n n n ==-++,91111119 (122391010)S -+-++-==. 故选：C2．（2018·甘肃省武威十八中高二课时练习）化简()()2111222222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+⨯+的结果是（ ）A ．1222n n ++--B ．122n n +-+C ．22n n --D ．122n n +--【答案】D 【解析】∵S n =n+（n ﹣1）×2+（n ﹣2）×22+…+2×2n ﹣2+2n ﹣1 ① 2S n =n×2+（n ﹣1）×22+（n ﹣2）×23+…+2×2n ﹣1+2n ② ∴①﹣②式得；﹣S n =n ﹣（2+22+23+…+2n ）=n+2﹣2n+1∴S n =n+（n ﹣1）×2+（n ﹣2）×22+…+2×2n ﹣2+2n ﹣1n+2﹣2n+1=2n+1﹣n ﹣2 故答案为：D3．（2020·江西省江西师大附中高三月考（理））数列111111,3,5,7,,(21),248162n n -+的前n 项和n S 的值等于（ ） A ．2112n n +- B ．21212n n n -+-C ．21112n n -+- D ．2112n n n -+-【答案】A 【解析】11(1321)(21)24n n n S =+++-++++11(1)(121)221212n n n -+-⋅=+- 2112n n =+-,故选：A4．（2019·福建省莆田一中高三期中（文））等差数列{}n a 中，49a =，715a =，则数列{}(1)nn a -的前20项和等于（ ） A ．-10 B ．-20C ．10D ．20【答案】D 【解析】7431596a a d -==-=，解得2,d = 13a =，所以20123419201...1020ni aa a a a a a d ==-+-+--+==∑，故选D ．5．（2020·珠海市第二中学高一开学考试）已知数列{}n a 且满足：142n na a +=-，且14a =，则n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020=S （ ） A ．2019 B ．2021C ．2022D ．2023【答案】D 【解析】 由142n na a +=-，14a =， 所以21422a a ==--，32412a a ==-，43442a a ==-， 所以数列{}n a 是以3为周期的数列，31233S a a a =++=， 所以202031=673S 673342023S a +=⨯+=. 故选：D6．（2018·厦门市华侨中学高二期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A ．3(1)2n n -++⨯ B ．3(1)2n n ++⨯ C ．1(1)2n n ++⨯ D ．1(1)2n n +-⨯【答案】D【解析】当1q = 时，不成立，当1q ≠ 时，()()3161171{1631a q q a q q-=--=- ，两式相除得3631171163q q q -==-+ ，解得：2q ，11a = 即1112n n n a a q --== ，12n n n a n -⋅=⋅ ， 2112232......2n n s n -=+⋅+⋅++⋅ ，2n s = ()211222......122n n n n -⋅+⋅++-⋅+⋅ ，两式相减得到：21122......22n n n s n --=++++-⋅()12212112n n n n n -=-⋅=-⋅-- ，所以()112nn s n =+-⋅ ，故选D. 7．（2019·福建省厦门第六中学高二期中（理））已知数列满足，则数列的最小值是A ．25B ．26C ．27D ．28 【答案】B 【解析】 因为数列中，，所以，，，，上式相加，可得，所以，所以，当且仅当，即时，等式相等，故选B ．8．（2020·江苏省高二期中）设函数()221xf x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ）A ．9B ．11C ．92D ．112【答案】B 【解析】()221x f x =+，()()()22222212121221xx x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221x x x x x +⋅=+==+++，设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++， 则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B. 二、多选题9．（2020·海南省高三其他）已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=【答案】BD 【解析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的 等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确； 因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以 231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD10．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】AB 【解析】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n nb -=，n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+ (2)）﹣n ()21212n n -=-=-2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB11．（2020·山东省高二期末）已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ）A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=-- 【答案】ABD 【解析】因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，{}n a 为递减数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.故选：ABD12．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512【答案】AB 【解析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确;1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB. 三、填空题13．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS ==∑_____. 【答案】21nn + 【解析】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故答案为：21nn +. 14．（2020·全国高三月考（文））已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +-- 【解析】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--， 又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +--15．（2020·安徽省高三一模（理））已知数列{}n a 中，11a =，()*12n n n a a n N +=∈，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2n S =____________.【答案】323n ⋅- 【解析】因为11a =，122a a =，所以22a =.又11221222n n n n n n n n a a a a a a +++++===， 所以数列{}n a 的奇数项是以1a 为首项，2为公比的等比数列，偶数项是以2a 为首项，2为公比的等比数列.故()()21122123231212nn n n S⨯-⨯-=+=⋅---.故答案为：323n ⋅-.16．（2020·山东省临沂第一中学高二期中）已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，设{}n a 的前n 项和为n S ，则6a =__________，2017S =__________． 【答案】1- 1010 【解析】由12a =，111n n a a +=-，有211112a a =-= 34231111,12a a a a =-=-=-=，………… 则数列{}n a 是以3为周期的数列.又12332a a a ++=，201736721=⨯+ 所以631a a ==-，20171367210102S a =⨯+=故答案为：(1). 1- (2). 1010 四、解答题17．（2019·全国高一课时练习）设函数()993xx f x =+，计算124022402340234023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】2011 【解析】解：由已知1199()(1)9393x x x x f x f x --+-=+++99931939399339x x x x x x=+=+=++⋅++， ()(1)1f x f x ∴+-=，设124022402340234023S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 402240211402340234023S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1402224021402212402340234023402340234023S f f f f f f ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭24022S ∴=， 2011S ∴=，即1240222011402340234023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．（2020·福建省高三其他（文））已知数列{}n a 为递减的等差数列，1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）8n a n =-；（2）n S 2115222n n n +-=+-．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根，且数列{}n a 为递减的等差数列，所以1672a a =⎧⎨=⎩，所以612716161a a d --===---， 所以1(1)7(1)8n a a n d n n =+-=--=-，即数列{}n a 的通项公式为8n a n =-．（2）由（1）得8n a n =-，所以82nn b n =--，所以数列{}n b 的前n 项和()2[76(8)]222n n S n =+++--+++(78)2(12212)n n n +-⨯-=-- 2115222n n n +-=+-．19．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,33162a S =⨯=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：12111nS S S +++. 【答案】（1）2n a n =.（2）1nn + 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,则有：3223124S a a ==⇒=,32642d a a =-=-=,12422a a d =-=-=,所以数列{}n a 的通项公式为：22(1)2n a n n =+-=. （2）由（1）可知：(22)(1)2n n n S n n +==+, ∴1111(1)1n S n n n n ==-++, ∴1211111111111223111n nS S S n n n n +++=-+-++-=-=+++ 20．（2020·合肥市第十一中学高一期中）数列{}n b 满足：1122,n n n n n b b b a a ++=+=-，且1224a a ＝，＝. （1）证明数列{2}n b +为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）122n n a n +=-【解析】（1）由122n n b b +=+，得122(2)n n b b +++＝1222n n b b ++∴=+，又121224b a a +=-+=∴数列{2}n b +是首项为4，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，111242222n n n n n b b -+++∴⋅∴＝＝，＝-， 由1122n n n n a a b ++-==-，1122(2)n n n n a a b n --∴-==-， 11222(2)n n n a a n ----=->，…，22122a a -=-，()2322222(1)n n a n ∴-=+++--，()()231221222222222221n n n n a n n n +-∴=++++-+=-+=--.21．（2020·合肥市第十一中学高一期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足356,15S S ==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设,2n nn a a b =求数列{}n b 的前n 项和nT . 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）11222n n n nT -=--．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，∵356,15S S ==∴11133(31)62{155(51)152a d a d +⨯⨯-=+⨯⨯-=即112{23a d a d +=+=，解得111a d =⎧⎨=⎩ ∴{}n a 的通项公式为1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）得22n n n a na nb == ∴231123122222n n n n n T --=+++++① ①式两边同乘以12，得234111231222222n n n n nT +-=+++++② ①-②得23111111222222n n n nT +=++++-111111*********n n n n n n ++⎛⎫-⎪⎝⎭=-=---∴11222nn nn T -=--22．（2011·安徽省高三一模（文））设奇函数对任意都有求和的值；数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；【答案】解：（1），；（2）是等差数列. 【解析】 （1）∵，且f （x ）是奇函数∴∴，故因为，所以．令，得，即．（2）令又两式相加．所以，故，又．故数列{a n}是等差数列．。