D =)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------按第一列展开，再将各列的公因子提出来D =)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------=(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)2232232111---k kk k ka a a a a a得到的k －1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为∏≤<≤-ki j j ia a2)(于是 D =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)∏≤<≤-ki j j ia a2)(=∏≤<≤-ki j j ia a1)(因此，对于任意正整数n ≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。

证毕 例1.14 计算n 阶三对角行列式：D n =2112000002100012100012------解 由行列式的性质1.4，将D n 的第一列的每个元看成两个元之和，得D n =21001200000210012000011-----+2112000002100012100011------第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得D n =D n －1+11100000100011000011---=D n －1+1 反复利用上面的递推公式，得到D n =D n －1+1=D n －2+2=…=D 1+n －1=2+n －1=n +1例1.15 计算n 阶行列式D n =n a bbba b bb a21 (a i ≠b , i =1,2,…,n ) 解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。

D n =na bbb a bb b a b b b 000121 第一行乘以（－1）加到其他各行上去，得D n =ba ba b a b b b n ------010******** 第二列乘以b a -11加到第一列上去，第三列乘以ba -21加到第一列上去，依次类推，最后一列乘以ba n -1加到第一列上去，得到D n =ba b a b a bb b ba b n ni i ----+∑= 00000000011211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∑=ni i b a b 1111()i i na b ≤≤-∏ 1.4 行列式的应用1.4.1 克拉默法则本小节以行列式为工具，研究解线性方程组的问题。

设n 个未知量n 个方程的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1.18） 简记为∑=nj j kjx a1=b k (k =1,2,…,n ) （1.19）它的系数构成的行列式D =nnn n nna a a a a a a a a 212222111211(1.20)称为方程组（1.18）的系数行列式。

定理1.7 如果方程组（1.19）的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解：x 1=DD 1, x 2=D D 2, …, x n=D D n (1.21) 这里D j (j =1,2,…,n )是把方程组的常数项b 1,b 2,…,b n 依次替换系数行列式中的第j列元所得到的n 阶行列式。

通常称这个定理为克拉默（G.Cramer ）法则。

证明 取正整数1,2,…,n 中任意一个为j ，以A 1j ,A 2j ,…,A nj 分别乘以方程组中第一，第二，…，第n 个方程，然后相加，得(∑=nk kj k A a11)x 1+(∑=n k kj k A a 12)x 2+…+(∑=n k kj kj A a 1)x j +…+(∑=nk kj kn A a 1)x n=∑=nk kj k A b11(1.22)由性质1.13可知，方程左边x j 的系数为D ，而其它的x i 的系数为零；方程右边恰好是用b 1,b 2,…,b n 依次替换D 中第j 列每个元所得到的行列式D j ，因此有Dx j =D j令j =1,2,…,n ，就得到方程组Dx 1=D 1, Dx 2=D 2,…,Dx n =D n (1.23)显然方程组（1.18）的解是（1.23）的解，而当D ≠0时，方程组（1.23）有惟一解：x 1=DD 1, x 2=D D 2, …, x n=D D n （1.24） 因此，方程组（1.18）最多有一组解。

将（1.24）代入（1.18）的第i 个方程，得∑=nj jij D D a 1=∑=n j ij a D 11(∑=nk kj k A b 1)=∑=nk k b D 11∑=nj kj ijA a1=b i (i =1,2,…,n )则（1.24）的解是（1.18）的解。

而且是唯一解。

证毕例1.16 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+=+-32731342273321321321x x x x x x x x x 解 系数行列式D = 273342731---= 196 由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，方程组有唯一解。

此时D 1= 273341732---= －54 D 2= 233312721---= 38D 3= 373142231---= 80 则有98271965411-=-==D D x 98191963822===D D x 49201968033===D D x 用克拉默法则解一个有n 个未知量、n 个方程的线性方程组，需要计算n +1个n 阶行列式，这样的计算量通常是相当大的，但克拉默法则在理论上具有重要意义。

1.4.2 拉普拉斯定理行列式按任意一行（列）展开的方法可以推广到按若干行（列）展开。

行列式按若干行（列）的展开式称为拉普拉斯展开式。

在n 阶行列式D 中任选k 行和k 列，位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个k 阶行列式M ，称为行列式D 的k 阶子式；而划去这k 行k 列后，剩余的元按原来的顺序排列成的n －k 阶行列式N ，称为M 的余子式；如果k 阶子式在D 中所在的行、列的序号依次为，i 1,i 2,…,i k ,j 1,j 2,…,j k ,则把N k k j j j i i i +++++++- 2121)1(称为M 的代数余子式。

例如D=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 从中取第二、三行，第一、三列，交叉处元组成一个二阶子式，记为M ；M 的余子式记为N ，具体写出来就是：M =33312321a a a a N =44421412a a a aM 的代数余子式为（－1）2+3+1+3N =－N定理1.8 在n 阶行列式中任取k 行（列），则由这k 行（列）的元所组成的所有的k 阶子式与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值。

通常把这个定理称为拉普拉斯（Laplace ）定理，证明从略。

例1.17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开D =410131001210011---解 D 中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六个M 1=2111-=3, M 2=1101-=1, M 3=0101-=0M 4=1201=1, M 5=0201=0, M 6=0100=0其中M 1,M 2,M 4的代数余子式为A 1=(－1)1+2+1+24113-=13, A 2=(－1)1+2+1+34011-=4A 4=(－1)1+2+2+34010=0由拉普拉斯定理知D =M 1A 1+ M 2A 2+ M 3A 3+ M 4A 4+ M 5A 5+ M 6A 6=3×13+1×4=43由此可见，当选出的行（列）中所组成的k 阶子式大部分都为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单。

例1.18 计算n 阶行列式D =ab a a b a 0000000000解 先做n －2次相邻行的互换，使得最后一行换到第二行位置上；再做n －2次相邻列的互换，使最后一列换到第二列的位置上D =(－1)n －20000000000a a a b b a =aa ab b a0000000000 用拉普拉斯定理，可得D =ab b a ·aa 00=a n －2(a 2－b 2)1.4.3 方阵与行列式行列式作为方阵的一个数字特征，具有如下性质（其中A ，B 为n 阶方阵，λ为数）性质1.14 det A T =det A性质1.15 det(λA )=λn det(A ) 证明 设A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211 则λA =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ212222111211及det(λA )=nnn n nna a a a a a a a a λλλλλλλλλ 212222111211依据行列式的性质，将det(λA )中每一行中的公因子λ提出，得到det(λA )=λnnnn n nna a a a a a a a a212222111211=λndet(A ) 证毕 性质1.16 设A 、B 为n 阶方阵，则有det(AB )=(det A )·(det B ) (此性质称为行列式的乘法定理) (1.25) 证明 设C =AB ，并设A =(a ij )n ×n ,B =(b ij )n ×n ,C =(c ij )n ×n 构造2n 阶行列式如下：D =nnn n nn nn n n n nb b b b b b b b b a a a a a a a a a21222211121121222211121110010001000000000---根据拉普拉斯定理，把D 按照前n 行展开，有 D =(det A ) ·(det B )另一方面，对D 中的后n 列实施行列式的性质1.11，将第k 列(1≤k ≤n )乘以b kj 加入到第n +j 列中去，使得原来矩阵B 位置上的每个元都变为零，得到D =1000010000001212122221222211121111211---nnn n nn n n nnn n c c c a a a c c c a a a c c c a a a其中c ij =∑=ni kj ikb a1，即C =(c ij )=AB再用拉普拉斯定理，把D 按照最后n 行展开，有D =(－1)s10010001---·(det C )=(－1)s ·(－1)n·(det C ) 其中s =[(n +1)+(n +2)+…+2n ]+（1+2+…+n ）=n (2n +1), s +n =n (2n +2)为偶数。