（一） 基本控制方程 圣 • 维南方程组包括连续性方程和动量方程。 在渐变流流程s方向上取ds微元段为控制体积，由 质量守恒定律和动量守恒定律分别推导，并引入 渐变流静压分布的特性，以及速度沿断面均匀分 布的假定，可得明渠一维流动的连续性方程：
A Q 0 t s 明渠一维流动的动量方程为:
（3）以z、v为应变量的组合形式
z z A v v v iv M t s B s B v v z v2 v g g 2 t s s C R

WASP4水动力模型及其数值方法 —— 基于“道—节”网络的河流水动力模 型系统 WASP4(Water Ouality Analysis Simulation Programme Version 4)是 美国联邦环境保护局阿申斯环境研究 实验室开发的水动力与水质分析模拟 程序。
（5）实际流体与理想流体 根据流体的粘滞性，可以将其分为 理想流体和粘性流体。对于理想流体， 其分子粘性系数为零，从而其运动学粘 性系数也为零。对于自然水体的水动力 模型应将流体视为粘性流体。
（6）布辛尼斯克（Boussinesq）近似 这是流体力学、大气科学、水动力学研 究中研究热力流动（热对流）问题中常用的 一种近似处理。这一假设由法国19世纪物理 学家J. Boussinesq提出，该假设认为：除非 热膨胀造成浮力外，流体可以视为不可压缩 的。 在我们水环境问题中，我们采用 Boussinesq近似，则认为在水平方向上不考 虑密度差，而仅在垂直方向上才考虑。一般 地说，对于浅层流体的缓慢流动，由于其水 平方向上的密度差较小，均可采用 Boussinesq近似。
国际上将水质模型发展的基本历程分为四 个阶段： 第一阶段（1925年~1965年）：开发了比较 简单的BOD—DO双线性系统模型。采用一 维计算方法。 第二阶段（1965年~1970年）：继续研究发 展BOD—DO模型的多维参数估计问题，水 质模型的基本框架发展为六个线性系统。 计算方法从一维推进到二维。除了继续研 究河流、河口水质问题外，开始模拟计算 湖泊、水库及海湾的环境问题。
在连续介质假设的基础上，就可以把流体的物理 量作为空间坐标和时间的连续函数，充分利用高等数 学这一工具来解决问题。 （2）流动的基本特征参量 在实际工作中，要了解流体的运动就必须知道表 征流体运动的特征物理量。这些物理量主要有：描述 流体运动状态的速度V；与运动有密切关系的压强p， 密度，温度T以及在环境问题中非常重要的所含物质 的浓度c等。其中，速度和压强是矢量，密度、温度和 浓度是标量。 （3）描述流体运动的两种观点 在流体力学中，描述流体的运动有两种观点（或 者说方法）：拉格朗日观点和欧拉观点。
WASP4模型系统描述了水环境中的四个 主要机制：水动力学、保守物质的输运、 富营养化－溶解氧动力学、有毒化学物质 与沉积动力学。该模型系统的设计体现了 结构化模块化的程序设计思想，整个软件 系统可视为一个模块化的程序集。具体地 说，该模型系统由水动力模拟程序DYNHYD 和水质模拟程序WASP两个部分组成，水动 力程序模拟水体的运动，给出水体的流场 特征，水质程序模拟水体中污染物的迁移、 转化及其相互作用，它又可以分为两个模 块，即模拟水体富营养化－溶解氧动力反 应的EUTRO和模拟有毒化学物质的TOXIC。
（4）散度和旋度 拉普拉斯算符与流体速度矢的点积称 为流体的散度，即。根据流体散度的概念 可以将流体分为无辐散流和辐散流。无辐 散流和辐散流又分别称为不可压缩流体和 可缩流体。对于自然水体而言，可将水视 为不可压缩流体。 拉普拉斯算符与流体速度矢的差积称 为流体的旋度（涡度）。根据流体涡度矢 量的概念，可以将流体分为无旋流动和涡 旋流动。对于自然水体的水动力模型，应 将其流动视为涡旋流动。
明渠非恒定流的基本特征是过水断面 上的水力要素都是时间和空间的函数，对 于一维明渠非恒定流，其运动规律可表示 为： v v s, t
Q Q s, t
z z s, t 或h hs, t A As, t
式中v、Q、z、h和A分别表示过水断面 上的平均流速、流量、水位、水深和过水 断面面积；s、t分别表示流程和时间。
z v 2 1 v v2 2 0 s s 2 g g t C R
（二）圣 • 维南方程组不同应变量的 组合形式 （1）以水位z、流量Q为应变量的组合

B z Q 0 t s
2 2 Q 2Q Q Q2 Q z Q gA B B i M g 2 t A s A s A AC R
水环境数学模型

水环境数学模型及其发展 水动力模型 水动力模型是将已知的水动力学基本 定律用数学方程加以描述，在一定的定解 条件（初、边值条件）下求解这些方程， 从而达到模拟某个水动力学的理论问题或 工程实际问题的目的。 水动力模型是水质模型的流场基础。

水质模型 水质模型是污染物在水体中所经历的物 理、化学、生物等过程的数学描述，表征水 环境污染物在自然水体中的迁移、转化和时 空分布特征。 长期以来，许多学者根据污染物排入水 体后的行为特征，将受纳水域分为所谓的 “近区”和“远区”。近区主要是指在排污 口附近的局部地区，这里对流、扩散的掺混 作用大，水力热力因素变化剧烈。在近区之 外的广大水域则属于远区，其特点是浓度、 温度等变化缓慢。近区和远区的水温、水质 特征往往分别采用积分模型和扩散模型。
式中为 i
z 0 1 A 1 A 床底坡度， 为在水深为h M B s h B s z s
（或水位为z）时的过水断面面积的沿程变化率。
（2）以h、Q为应变量的组合形式
B h Q 0 t s
2 2 Q 2Q Q Q2 Q h Q gA B gAi B M g 0 2 t A s A s A AC R
实际流体的结构是由彼此之间有空隙并进行复杂微观运 动的大量分子所组成。由于流体力学研究的是流体的宏观机 械运动，一般引入连续介质的假设。即认为流体是由无空隙 地充满着流体所占空间的流体质点（也称流体微团）所构成， 流体微团的尺度在微观上足够大，包含大量的分子，使得在 统计平均后能得到其物理量的确定值；流体微团的尺度在宏 观上又足够小，远远小于所研究问题的特征尺度，使得其平 均物理量可看成是均匀的，并且可以将其看成几何上的一个 点。

WASP４水动力模型的基本理论
连续性方程：
A Q t x
动量方程：
u u u Ag Af Aw t x

模型的网格系统
相邻节点之间设想有通道 (channel)相连，通道长度等 于两节点中心间的距离。该计算网络系统的物理意义可作 如下理解：把“道”想象为输送水流的通道，把“节”想 象为存贮水体的节点。每个节点即是一个水体体积单元， 作为接收流过通道水体的容器，影响水体贮存的参数都定 义在节点网络系统中；而每一通道都是两个相邻节点间水 体输移的理想矩形输送带，它包含了河道中所有水流的运 动，影响水流运动的参数都定义在通道网络系统中。 在水动力学计算程序中，“道－节”网络系统在交替的 网络点上求解动量方程和连续性方程，对每一时间步长， 在通道上求解动量方程，给出计算的速度，在节点上求解 连续性方程，给出计算的水位高程。

明渠渐变流一维基本方程组——圣•维南 （Saint-Venant）方程组 圣 • 维南（ Saint-Venant）方程组是明 渠非恒定渐变流的基本方程组。所谓明渠 流动其特点是具有自由水面，例如自然河 道或人工明渠。根据明渠流动空间点上的 运动要素（水力要素），例如水位、流量、 过水断面面积和流速等，是否随时间变化， 分为恒定流与非恒定流；根据其运动要素 是否随流程变化可分为均匀流与非均匀流。 非均匀流又可分为渐变流与急变流。

第三阶段（1970年~1975年）：研究开发 涉及到营养物质磷、氮的循环系统，浮 游植物和浮游动物系统的非线性系统模 型。同时开始研究生物生长率同这些营 养物质、阳光、温度的关系，浮游植物 和浮游动物生长率之间的关系等。 第四阶段（1975 年以后）：在第三阶段研 究的基础上，发展了多种相互作用的系 统，例如涉及到底泥与上覆水体的关系， 有毒物质的相互作用等。空间尺度已发连续性方程
( u ) ( v ) ( w) 0 t x y z
（2）动量方程
u (u 2 ) (uv) (uw) 1 p 2 X u t x y z x v ( vu) ( v 2 ) ( vw) 1 p 2 Y v t x y z y w ( wu ) ( wv ) ( w 2 ) 1 p 2 Z w t x y z z
随着计算机技术的飞速发展，模型 也趋向复杂化，某些模型中状态变量的 数目已大大增加，有 20 个或是更多状 态变量的水质模型已不少见。目前对环 境污染问题，已发展到将地表水、地下 水的水质水量与空气质量模型相互偶合， 建立综合模型的研究阶段。


水体质量模式（水质模型）的流场基础—— 水动力模型 水动力模型的基本理论 几个重要的基本概念： （1）连续介质假设