【2020二模汇编】24题【闵行区】24. 在平面直角坐标系xOy 中，我们把以抛物线2y x =上的动点A 为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”，如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为32，且与y 轴交于点C ，设点A 的横坐标为m （0m >），过点A 作y 轴的垂线交轴于点B .（1）当1m =时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含m 的代数式表示ACB ∠的余切值；（3）如果135OAC ∠=︒，求m 的值.【参考答案】24.（1）23(1)12y x =-+；（2）3cot 2ACB m ∠=；（3）2m =.【宝山区】24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y ax ax a =--（0a <）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =.（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标.【参考答案】24.（1）(1,0)A -，y ax a =+；（2）25a =-；（3）126(1,7)7P -，2(1,4)P -.【3崇明区】24. 已知抛物线24y ax bx =+-经过点(1,0)A -、(4,0)B ，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC 、BC 、CD 、BD .（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当4BCD AOC S S =时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上一点，点F 是抛物线上一点，当以点A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E 的坐标.【参考答案】24.（1）234y x x =--；（2）(2,6)D ；（3）1(1,0)E ，2(8,0)E ，3(1,0)E -，4(0,0)E .【4金山区】24. 在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)A 和(0,3)B ，其顶点为C .（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）我们把坐标为(,)n m 的点叫做坐标为(,)m n 的点的反射点，已知点M 在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M 的坐标；（3）点P 是抛物线在第一象限部分上的一点，如果POA ACB ∠=∠，求点P 的坐标.【参考答案】24.（1）(1,4)C ；（2）(13,1)+，(13,1)-；（3）1133313(,)P -+-+.【5长宁区】24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =++经过点(2,2)A -，对称轴是直线1x =，顶点为点B ，抛物线与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式和点B 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点D ，求△BCD 的面积；（3）如果点P 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP 交线段OA 于点Q ，15BQ PQ =，求点P 的坐标.【参考答案】24.（1）222y x x =--，(1,3)B -；（2）52BCD S=；（3）(4,6)P .【6浦东区】24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，对称轴是直线1x =.（1）求抛物线的表达式；（2）直线MN 平行于x 轴，与抛物线交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），且34MN AB =，点C 关于直线MN 的对称点为E ，求线段OE 的长；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP 、EP ，EP 交线段BC 于点F ，当:1:2CPF CEF SS =时，求点P 的坐标.【参考答案】24.（1）223y x x =-++；（2）12OE =；（3）P 的坐标为115(,)24或57(,)24.【7徐汇区】24. 如图，已知直线22y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，矩形ACBE 的顶点B 在第一象限的反比例函数m y x =图像上，过点B 作BF OC ⊥，垂足为F ，设OF t =. （1）求ACO ∠的正切值；（2）求点B 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）已知直线22y x =+与反比例函数m y x =图像都经过第一象限的点D ，联结DE ，如果DE x ⊥轴，求m 的值.【参考答案】24.（1）1tan 2ACO ∠=；（2）(42,)B t t -；（3）4825m =.【8嘉定区】24. 在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知经过点(3,0)A -的抛物线223y ax ax =+-与y 轴交于点C ，点B 与点A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点.（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B 的坐标、点C 的坐标、点D 的坐标；（2）联结AD 、DC 、CB ，求四边形ABCD 的面积；（3）联结AC ，如果点E 在该抛物线上，过点E 作x 轴的垂线，垂足为H ，线段EH 交线段AC 于点F ，当2EF FH =时，求点E 的坐标.【参考答案】24.（1）223y x x =+-，(0,3)B -，(1,0)C ，(1,4)D --；（2）9S =；（3）(2,3)E --.【9静安区】24. 在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线212y x bx c =-++（其中b 、c 是常数）经过点(2,2)A --与点(0,4)B ，顶点为M .（1）求该抛物线的表达式与点M 的坐标；（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y 轴交于点C （点C 在点B 的下方），且△BCM 的面积为3，新抛物线的对称轴l 经过点A ，直线l 与x 轴交于点D .① 求点A 随抛物线平移后的对应点坐标；② 点E 、G 在新抛物线上，且关于直线l 对称，如果正方形DEFG 的顶点F 在第二象限内，求点F 的坐标.【参考答案】24.（1）21242y x x =-++，(2,6)M ；（2）①(6,5)--；②(2,272)F --.【10青浦区】24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数243y ax ax =-+的图像与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，且tan 3CAO ∠=.（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP ，交对称轴于点F ，当:2:3CDF FDP SS = 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将△PCD 沿直线MN 翻折，当点P 恰好与点O 重合时，折痕MN 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，求OM ON的值.【参考答案】24.（1）243y x x =-+；（2）(5,8)P ；（3）85.【11奉贤区】24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx =+经过点(2,0)A . 直线122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线2y x bx =+向右平移，使平移后的抛物线经过点B ，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线2y x bx =+向下平移，使平移后的抛物线交y 轴于点D ，交线段BC 于点P 、Q ，（点P 在点Q 右侧），平移后抛物线的顶点为M ，如果DP ∥x 轴，求∠MCP 的正弦值.【参考答案】24.（1）22y x x =-，(1,1)-；（2）2(2)2y x =--或2(4)2y x =--；（3）55. xOy【12松江区】24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x bx =-++与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，且OA OB =，又抛物线的顶点为M ，联结AB 、AM .（1）求这条抛物线的表达式和点M 的坐标；（2）求sin BAM ∠的值；（3）如果Q 是线段OB 上一点，满足45MAQ =∠，求点Q 的坐标.【参考答案】24.（1）(1)(3)y x x =-+-，(1,4)M ；（2）10；（3）(0,1)Q .【13黄浦区】24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A -和(2,6)B ，其顶点为D . （1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD 的面积；（3）设C 为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C 作CH x ⊥轴，垂足为点H ，如果△OCH 和△ABD 相似，求点C 的坐标.【参考答案】24.（1）2122y x x =+；（2）12ABD S =；（3）(10,30)C -或1414(,)39-.【14虹口区】24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -和点(3,0)B ，该抛物线对称轴上的点P 在x 轴上方，线段PB 绕着点P 逆时针旋转90︒至PC （点B 对应点C ），点C 恰好落在抛物线上.（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；（2）求点P 的坐标；（3）点Q 在抛物线上，联结AC ，如果QAC ABC ∠=∠，求点Q 的坐标.【参考答案】24.（1）223y x x =-++，对称轴：直线1x =；（2）(1,1)P ；（3）79(,)24Q -.。