《电动力学》习题 集＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一、思考题1、写出麦克斯韦方程组积分式和微分式，并说明建立方程组依据了哪些试验定律。

答：麦克斯韦方程组积分式为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=•=••⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=••∂∂-=•SVSL S L Ss d B dVs d E s d t E j l d B s d t B l d E 0100ρρρρρρρρρρρρρρεεμ 麦克斯韦方程组微分式为：000=•∇=•∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇B E t E j B tB E ρρρρρρρερεμμ依据的试验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理。

2、位移电流是怎样定义的？它与传导电流有何区别？ 答：我们知道恒定电流是闭合的：()恒定电流.0=⋅∇J在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。

一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有.0≠∂∂-=⋅∇t J ρ现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=⨯∇ 取两边散度，由于0≡⨯∇⋅∇B ，因此上式只有当0=⋅∇J 时才能成立。

在非恒定情形下，一般有0≠⋅∇J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。

由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。

把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+⋅∇D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=⨯∇0μ。

此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。

由电荷守恒定律 .0=∂∂+⋅∇tJ ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=⋅∇E 两式合起来得：.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅∇t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式.0tEJ D ∂∂=ε 位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。

它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。

而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。

3、分别写出电荷守恒定律的积分式和微分式，并由此写出恒定电流的连续性方程。

答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0=∂∂+•∇∂∂-=•⎰⎰t J dV t ds J S Vρρρρ恒定电流的连续性方程为：0=•∇J4、在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p 和磁化强度矢量M 各是怎样定义的？并写出P 与；M 与j ；E 、D 与p 以及B 、H 与M 的关系。

答：极化强度矢量p ：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。

另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。

在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。

而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P 描述，它等于物理小体积V ∆内的总电偶极矩与V ∆之比，.VpP i∆=∑ρi p 为第i 个分子的电偶极矩，求和符号表示对V∆内所有分子求和。

磁化强度矢量M ：介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。

在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度M J 。

分子电流可以用磁偶极矩描述。

把分子电流看作载有电流i 的小线圈，线圈面积为a ，则与分子电流相应的磁矩为： .ia m =介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M 表示，它定义为物理小体积V ∆内的总磁偶极矩与V ∆之比，.Vm M i∆=∑M B H P E D M j P M P ρρρρρρρρρ-=+=⨯∇=•∇=00,,,μερ5、写出导体表面的边界条件。

答：理想导体表面的边界条件为：.,0α=⨯=⨯H n E n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=•=•.0,B n D n σ。

它们可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。

6、在球坐标系中，若电势ϕ不依赖于方位角φ，写出这种情形下拉氏方程的通解。

解：拉氏方程在球坐标中的一般解为：()()()φθφθφθϕm P R d R c m P R b R a R m n m n n nm nnm m n mn n nm n nm sin cos cos cos ,,,1,1∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 式中nm nm nm nm d c b a 和,,为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。

()θcos m n P 为缔合勒让德函数。

若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势ϕ不依赖于方位角φ，这球形下通解为：()()θθϕcos ,cos 1n n n n n n n P P R b R a ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++＝为勒让德函数，n n b a 和是任意常数，由边界条件确定。

7、研究磁场时引入矢势A 的根据是什么？矢势A 的意义？答：引入矢势A 的根据是：磁场的无源性。

矢势A 的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。

只有A 的环量才有物理意义，而每点上的A （x ）值没有直接的物理意义。

8、什么是平面时谐电磁波？平面时谐电磁波有那些性质？写出一般坐标系下平面电磁波的表达式。

答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。

它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面，也就是说在垂直于波的传播方向的平面上，相位等于常数。

平面时谐电磁波的性质：（1）电磁波为横波，E 和B 都与传播方向垂直； （2）E 和B 同相，振幅比为v ；（3 E 和B 互相垂直，E ×B 沿波矢k 方向。

9、电磁波在导体中和在介质中传播时存在那些区别？电磁波在导体中的透射深度依赖于哪些因素？答：区别:（1）在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗，电磁波可以无衰减地传播；（2）电磁波在导体中传播，由于导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。

因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波。

在传播的过程中，电磁能量转化为热量。

电磁波在导体中的透射深度依赖于：电导率和频率10、写出电磁场用矢势和标势表示的关系式。

答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：⎪⎩⎪⎨⎧∂∂--∇=⨯∇=t A E A B ϕ 11、写出推迟势的基本公式和达朗贝尔方程。

答：推迟势为：()()''0'0',4,4,,dvrc r t x J t x A dv rc r t x t x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πμπερϕ达朗贝尔方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂+•∇-=∂∂-∇-=∂∂-∇011120222202222t c A t c Jt Ac A ϕερϕϕμ12、爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理是什么？其内容如何？答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。

物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。

（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c ，并与光源运动无关。

13、写出相对论时空坐标变换公式和速度变换公式。

答：坐标变换公式：222'''22'11cv x c v t t zz yy cv vt x x --===--=速度变换公式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=--=--=222'222'2'11111c vu c v u u c vu c v u u c vu v u u xz z xy y xx x 14、导出洛仑兹变换时，应用了哪些基本原理？还做了哪些附加假设？洛仑兹变换同伽利略变换二者的关系怎样？答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性。

基本假设为：光速不变原理（狭义相对论把一切惯性系中的光速都是c 作为基本假设，这就是光速不变原理）、空间是均匀的并各向同性，时间是均匀的、运动的相对性。

洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系，所涉及的速率都远小于光速。

洛仑兹变换是存在于相对论力学中的一种变换关系，并假定涉及的速率等于光速。

当惯性系'S （即物体）运动的速度c V <<时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换，也就是说，若两个惯性系间的相对速率远小于光速，则它以伽利略变换为近似。

15、你学过哪些四维力学矢量？其形式如何？答：四维力学矢量为：（1）能量－动量四维矢量（或简称四维动量）：⎪⎭⎫⎝⎛=W c i p p ,μ（2）速度矢量：dtdx d dx U μμμγτ==（3）动量矢量：μμU m p 0=（4）四维电流密度矢量：()ρρμμμic J J U J ,,0==（5）四维空间矢量：()ict x x ,=μ（6）四维势矢量：⎪⎭⎫⎝⎛=ϕμc i A A ,（7）反对称电磁场四维张量：νμμνμνx A x A F ∂∂-∂∂=（8）四维波矢量：⎪⎭⎫ ⎝⎛=c w i k k ,μ二、证明题1、试由毕奥－沙伐尔定律证明0=•∇B ρ证明：由式：()()''0'3'0144dv rx J dv r r x J B ∇⨯=⨯=⎰⎰πμπμ又知：()()''11x J r r x J ⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇，因此 ()()⎰⎰=⨯∇=⨯∇=rdv x J A A dv rx J B ''0''04 4πμπμ式中由 ()0=⨯∇•∇=•∇A B 所以原式得证。

2、试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件()()().0;;0121212=-•=-•=-⨯B B n D D n E E n ρρρρρρρρρδ 解：()δδδρ=-=-⋅∴∆=⋅∆-⋅∆=•⎰⎰n n fVS D D D D n S D n S D n S dVs d D 121212.ρρρρρρρρρΘ即：对于磁场B ，把0=⋅⎰s d B Sρρ应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得：()01212=-⋅-B B n B B n n ρρρ即：作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为l ∆，短边边长为'l ∆。

因为⎰=⋅0dl E ，作沿狭长矩形的E 的路径积分。

由于'l ∆比l ∆小得多，当0'→∆l 时，E 沿'l ∆积分为二级小量，忽略沿'l ∆的路径积分，沿界面切线方向积分为：012=∆-∆l E l E t t 即：()*,012--t t E E 。