《函数及其图象》解题技巧
【考点聚焦】
函数的本质特征是变化与对应，它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具．作为刻画变量变化规律的工具，函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一．“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，其自身还蕴含着方程与不等式的知识．
函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识．它与数学其它知识有着更为广泛的联系，不仅有着极为广泛的应用，而且也是发展同学们符号感的有效载体．
在历年的学业考试中，函数一直是命题的“重头戏”，所考题型无所不包，同时不断与其它数学知识相互渗透，题量不一定是最多的，但综合程度一定是最高的．
【热点透视】
热点1:通过设计确定函数关系型问题考查函数三种表达形式及其之间的关系
【例1】(1)点(24)，在一次函数2y kx =+的图象上，则k =_________．
(2)若反比例函数k y x
=的图象经过点(12)-，，则该函数的解析式为_____． 【分析】(1)将点(24)，代入2y kx =+．(2)将点的坐标直接代入可以求出k 值．
【解】(1)1k =；(2)2y x
=-． 【小结】直接考查同学们利用函数图象确定函数解析式技能的掌握情况．题目叙述简明、要求简单明了，较好地落实了对这个知识点的考查．
热点2:重视对函数图象及性质的考查
【例2】(1)均匀地向一个如图1所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h 随时间t 变化的函数图象大致是( )
(2)星期天，小王去朋友家借书，图2是他离家的距离y (千米)与时间x (分钟)的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是( )
(A)小王去时的速度大于回家的速度
(B)小王在朋友家停留了10分钟
(C)小王去时所花的时间少于回家所花的时间
(D)小王去时走上坡路，回家时走下坡路
【答案】(1)(A)；(2)(B)．
【小结】本例以实际生活为背景，用分段函数来描述实际问题，在加强对函数图象的识图能力和分析问题能力的考查的同时，也引导同学们平时关注生活中蕴含的数学问题．这样的题目，既突出了函数的基础性功能，又突出了它的应用性功能，对改进和完善中考数学命题具有积极的启示作用．
热点3:重视对函数知识实际应用的考查
【例3】我国铁路第六次大提速之后，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h 有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图3所示，OA 是第一列动车组列车离开甲城的路程s (单位:km)与运行时间t (单位:h)的函数图象，BC 是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s (单位:km)与运行时间t (单位:h)的函数图象．请根据图中信息，解答下列问题:
(1)点B 的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间______h ，点B 的纵坐标300的意义是____________．
(2)请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s (单位:km)与时间t (单位:h)的函数图象．
(3)若普通快车的速度为100km/h ；
①求BC 的解析式，并写出自变量t 的取值范围．
②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通快车相遇．
③直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间．
【解】(1)晚0.5，甲、乙两城相距300km ．
(2)如图4:
(3)①设直线BC 的解析式为s kt b =+．
∵(0.5300)B ，，(3.50)C ，，
∴ 3.500.5300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得100350
k b =-⎧⎨=⎩．
∴100350s t =-+．自变量t 的取值范围是0.5≤t ≤3.5．
②解法1:设直线MN 的解析式为11s k t b =+．
∵(10)M ，，(3300)N ，，
∴111103300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11150150
k b =⎧⎨=-⎩．
∴150150s t =-．
由①可知直线BC 的解析式为100350s t =-+．
∴150150100350t t -=-+．解得2t =． ∴211-=．
解法2:设直线MN 的解析式为1150s t b =+．
∵点M 在直线上，∴101501b =⨯+．
解得1150b =-．
∴150150s t =-．
∴100350150150t t -+=-．解得2t =．
解法3:设第二列动车组列车出发x 小时后与普通列车相遇，根据图中信息，
得150100(0.5)300x x ++=．
解得1x =．
答:第二列动车组列车发车1小时后与普通快车相遇． ③35
小时(或36分钟)． 【小结】对函数应用性问题的重视，一方面体现了初、高中数学知识衔接的需要，另一方面体现了数学新课程基本理念的要求，本例在这方面起到很好的导向作用，中考复习时应当着力把握这方面的动态．。