概率论与数理统计课后习题答案第一章总习题1．填空题（1）假设B A ,是两个随机事件，且B A AB ⋅=，则()A B =U ，()=AB ；解：AB A B AB A B =⋅⇔=即AB 与A B U 互为对立事件，又AB A B ⊂U所以()(),.AB A B A B AB A B AB Ω==∅==（2）假设B A ,是任意两个事件，则()()()()()P A B A B A B A B ⎡⎤=⎣⎦.解：()()()()()()P A⎡=⎣()()0P B==.（3）.已知41)()()(===C P B P A P ， 0)(=AB P ， 161)()(==BC P AC P 。

则事件A 、B 、C 全不发生的概率为解：所求事件的概率即为()P ABC ,又,ABC AB ⊂从而()()00,P ABC P AB ≤≤=则()0P ABC =，所以()()()1P ABC P A B C P A B C ==-()()()()()()()31311.488P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =---+++-=-+=2．选择题（1）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，()8.0=B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 相互独立；（B ）事件A 与事件B 互逆； （C ）A B ⊃；（D ）()()()P AB P A P B =+.解：因为()56.0)()(==B A P B P AB P ，而56.0)()(=B P A P ，即)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 相互独立，选（A ）.（2）设B A ,为两个互逆的事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是().（A ）()0>A B P ；（B ）())(A P B A P =；（C ）()0=B A P ；（D ）)()()(B P A P AB P =. 解：因为B A ,为两个互逆的事件，所以当事件B 发生时，事件A 是不会发生的，故()0=B A P .选（C ）.（3）设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，()()1=+B A P B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 互不相容；（B ）事件A 与事件B 互逆； （C ）事件A 与事件B 不互相独立；（D ）事件A 与事件B 互相独立.解：因为()()()()()()()()()()1111P A B P A BP AB P AB P A B P A B P B P B P B P B⋅+=⇔+=⇔+=- ()()()()()()()()()()111111P AB P A B P AB P A P B P AB P B P B P B P B ---+⇔+=⇔+=⇔--()()[]()()()()[]()()[]⇔-=+--+-B P B P AB P B P A P B P B P AB P 111)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 互相独立.选（D ）.3．从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率. 解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.设A 表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则()4101212124511)(C C C C C A P A P -=-=2113=.4．（找次品问题）盒中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只进行测试，直到4只次品晶体管都找到为止，求第4次品晶体管在第五次测试中被发现的概率.解：设i A 表示“第i 次找到次品晶体管”()5,4,3,2,1=i ，则所求概率为：()54321543215432154321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A P ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()()()()()432153214213121A A A A AP A A A AP A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+61768293104617286931046172839610461728394106⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=1052617283941064=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯=.5．（讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金1000元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲2胜1负.由于特殊原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平?解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可.比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜. 甲获胜的预期概率为：()()()()43212121544544=⨯+=+=+A P A P A P A A A P . 于是，甲应分得1000元奖金中的750100043=⨯元，乙分得250元.6．(彩票问题) 一种福利彩票称为幸福35选7，即从01，02，…，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码.中奖规则如下表所示.(1)试求各等奖的中奖概率(1,2,,7);i p i =(2) 试求中奖的概率.解：(1) 因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间Ω含有735C 个样本点.要中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取：第一类号码：7个基本号码； 第二类号码：1个特殊号码； 第三类号码：27个无用号码。

在三类号码中抽取，若记i p 为第i 等奖的概率(1,2,,7);i =可得各等奖的中奖概率如下：767173510.14910;6724520C p C -===⨯ 6167127357 1.0410;6724520C C p C -===⨯601571273735189 2.810610;6724520C C C p C -===⨯5115712747355678.143810;6724520C C C p C -===⨯ 5023712757357371 1.09610;6724520C C C p C -===⨯41237127673512285 1.82710;6724520C C C p C -===⨯ 4033132712771277735204750 3.044810.6724520C C C C C C p C -+===⨯ (2) 若记A 为事件“中奖”，则A 为事件“不中奖”则()712251700.033485.6724520i i P A p ====∑7．甲从10,8,6,4,2中任取一个数，乙从9,7,5,3,1中任取一个数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率.解：设A 表示甲取得的数大于乙取得的数，i A 表示“甲取的数为()10,8,6,4,2=i i ”，k B 表示“乙取的数为()9,7,5,3,1=k k ”，则所求概率为：()()()()()21413613581357P A P A B P A B B P A B B B P A B B B B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()[]9753110B B B B B A P +++++()()()()()()()()2141436163658183P A B P A B P A B P A B P A B P A B P A B P A B =+++++++()()()()()()()9107105103101107858B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P +++++++由于甲、乙取数是相互独立的，则由独立性的性质可知：()()()k i k i B P A P B A P =，且()51=i A P ，()51=k B P ，()9,7,5,3,1;10,8,6,4,2==k i . ()1315.255P A =⨯=.8．从数字9,,,3,2,1 中可重复地任取n 次，每次取一个数，求n 次所取数的乘积能被10整除的概率.解：n 次取得的数的乘积能被10整除，相当于取得的n 个数中至少有一个是偶数，另一个是5.设A 表示“所取的数是5”，B 表示“所取的数中至少有一个是偶数”，则所求概率为：()()()()()()8541111999n n nn n n P AB P AB P A B P A P B P A B =-=-=--+⋅=--+nnn n 94581-+-=.9．向正方形区域(){}1,1,≤≤=Ωy x y x 中随机地投一个点，如果()y x ,是所投点M 的坐标，试求：（1）20x px q ++=有两个实根的概率；（2）方程20x px q ++=有两个正实根的概率.解：（1）设A 表示“20x px q ++=有两个实根”，20x px q ++=有两个实根的充要条件是 240p q -≥， 即(){}2,40A p q pq =-≥.故()12022413424p dp P A +==⎰.（2）设B 表示“方程20x px q ++=有两个正实根”，则方程20x px q ++=有两个正实根的条件是：240p q -≥，0p ->，0q >，即(){}2,40,0,0B pq p q p q =-≥<>.故()02141448p dp P B -==⎰.⎝⎛p10．将四个球任意地放到四个盒子中去，每个盒子中容纳球的个数不限，如果已知前两个球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率.解：设A 表示“前两个球放在不同的盒子中”，B 表示“有一个盒子中恰好有两个球”，则所求概率为()P B A .样本空间含样本点总数为44,A 含样本点总数为21114244C C C C 个，AB 含样本点总数为211422C C C 个,故()()()21144222111442444148P AB C C C P B A P A C C C C ===.11．设M 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件.（1）在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率.解：设i A 表示“取出的两件产品中有i 件合格品”，则()22Mimi m M i C C C A P --=()2,1,0=i . （1）()()()()()()0220010001210121211M m mMM mMC C P A A A P A m C P A A A C P A A P A A M m C ---====---. 或()()()()()()()()()10010010100100A P A P A P A A P A P A A P A A A P A A A P +=+=++=+ 121211220220---=+=---m M m C C C C C C C C C Mm m M M m m M M mm M . （2）()()()()()()()()1121112121221P A A A P A mP A A A P A P A P A P A M m ===+++-.12．口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一个，取后不放回，求第三次才取到红球的概率.解：设i A 表示“第i 次取得红球()3,2,1=i ”，则所求概率为：()()()()089.011812119117120118213121321=⨯⨯=⋅=⋅⋅C C C C C C A A A P A A P A P A A A P13．12个乒乓球全是新的，每次比赛时取出3个用完后放回去.（1）求第三次比赛时取到的三个球都是新球的概率；（2）问在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到几个新球的概率最大？解：设事件i i i C B A ,,分别表示第一、二、三次比赛时取到i 个新球()3,2,1,0=i . （1）由全概率公式，()()()∑==3033i i i B C P B P C P .其中：()()3,2,1,0312339==-i C C C B P i i i ，()()3,2,1,0312393==-i C C B C P i i . 故()()()146.03312393123393033≈⋅==∑∑=--=i ii i i i i C C C C C B C P B P C P . （2）由贝叶斯公式，()()()()30003384;7056P C B P B P B C P C ==()()()()3111331512;7056P C B P B P B C P C == ()()()()3222333780;7056P C B P B P B C P C ==()()()()3333331680.7056P C B P B P B C P C ==. 故在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到两个新球的概率最大.14．（有关经济的忠告）美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三种不同经济理论的顾问C B A ,,，总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对失业率的影响，每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，预测是以失业率将减少、保持不变或上升的概率来给出的，见下表.用字母C B A ,,分别表示顾问C B A ,,的经济理论是正确的事件，根据以往总统与这些顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问正确的经济理论可能的一个估计，分别为：()61=A P ，()31=B P ，()21=C P .假设总统采取了所提出的新政策，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其经济顾问的理论的正确的估计？解：设D 表示“失业率上升”，则C B A ,,构成了样本空间的一个划分.由全概率公式有()()()()()()()P D P A P D A P P B P D B P C P D C =++3.02.0212.0318.061=⨯+⨯+⨯=. 由Bayes 公式得：()()()()10.8460.39P A P D A P A D P D ⨯===，()()()10.2230.39P B P D B P B D P D ⨯===，()()()10.2320.39P C P D C P C D P D ⨯===.即总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为：()4,9P A D =()2,9P B D =()3.9P C D =15．设一枚深水炸弹击沉一艘潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求出击不沉的概率.）解：设A 表示“施放4枚深水炸弹击沉潜水艇”，依题意击不沉一艘潜水艇只有以下两种互斥情形：“4枚深水炸弹全击不中潜水艇”记为事件,B “4枚深水炸弹中1枚击伤潜水艇而另3枚击不中潜水艇”记为事件,C 由于各枚深水炸弹能袭击潜水艇是独立的，故有()()4314111,,626P B P C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又,B C 互斥，从而()()()()433441111311116626P A P A P B P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎡+⎤=-+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16．设有五个独立工作的元件,5,4,3,2,1它们的可靠性均为p .将它们按本题图的方式连接（称为桥式系统），试求出该系统的可靠性. 解：设i A 表示“第i 个元件可靠()5,4,3,2,1=i ”，A 表示“系统正常工作” 则所求概率为：()()()()12451354321245135()P A P A A A A A A A A A A P A A P A A P A A A =+++=++ ()()()()()4321235124512341345P A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A +----()()()()12345234512345123454P A A A A A P A A A A P A A A A A P A A A A A --+-.23452252p p p p =+-+另解 ：按元件3处于正常工作与失效两种状态，用全概率公式()()()()3333()P A P A A P A P A A P A =+()()()()31425P A A P A A A A =，()()31245.P A A P A A A A =()()()()21414142,P A A P A P A P A A p p =+-=- ()()()()22525252,P A A P A P A P A A p p =+-=-()()()()()()()223142514252P A A P A A A A P A A P A A p p===-()()()()()2431245124512452.P A A P A A A A P A A P A A P A A A A p p ==+-=-故()()()()()()()22243333()221P A P A A P A P A A P A p pp p p p =+=-+--23452252.p p p p =+-+17．（下赌注问题）17世纪未，法国的De Mere 爵士与人打赌，在“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”的情况下他赢了钱，可是在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情况下却输了钱，从概率论的角度解释这是为什么？解：应分别求出“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”和“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的概率，比较这两个概率的大小即可作出解释.设A “一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”，B “两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”；再设i A “第i 次抛掷时出现六点()4,3,2,1=i ”，k B “第k 次抛掷时出现双六点”，则()()()12341234123411P A PA A A A P A A A A P A A A A ==-=-⋅⋅⋅()()()()518.0651144321≈⎪⎭⎫⎝⎛-=-=A P A P A P A P .此概率大于5.0，故赢钱的可能性大.()()()()12241224122411P B P B B B P B B B P B B B ==-=-⋅⋅⋅()()()491.0363511242421≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B P B P B P .此概率小于5.0，故赢钱的可能性小.请注意，在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情形中，当抛掷次数25>n 时，这时的概率大于5.0，且抛掷次数超过25次越多越有利，这是因为136351lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n .18．要验收一批100件的乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为95.0，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为01.0，如果已知这100件乐器中恰好有4件音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解：设i H 表示“随机取出的三件乐器中有i 件音色不纯()3,2,1,0=i ”，A 表示“这批乐器被接收”，则()31003960C C H P =，()3100296131C C C H P =，()3100196242C C C H P =，()3100343C C H P =，()()3099.0=H A P ，()()05.099.021⨯=H A P ，()()2205.099.0⨯=H A P ，()()3305.0=H A P .于是，由全概率公式得：()()()30.85740.0055000.8629.i i i P A P H P A H ===+++=∑实用标准文案精彩文档 19 （1）若()()P A B P A B >，试证()().P B A P B A >(2)设0()1,P B <<试证A 与B 独立的充要条件是()().P A B P A B = 证明（1）因()()P A B P A B >即()()()()()()()1P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=- 展开()()()()()1P AB P B P B P A P AB ⎡-⎤>⎡-⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB ->-化简得 ()()()P AB P A P B >从而有 ()()()()()()()P AB P A P AB P A P B P A P AB ->-()()()()()1P A P AB P A P B P AB ⎡-⎤>⎡-⎤⎣⎦⎣⎦()()()()P A P AB P A P AB > ()()()()P AB P AB P A P A >即()().P B A P B A > （2）证充分性：由()().P A B P A B =可得()()()()()()()1P AB P AB P A P AB P B P B P B -==- ()()()()()1P AB P B P B P A P AB ⎡-⎤=⎡-⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB -=-化简得 ()()()P AB P A P B =，所以A 与B 独立.证必要性：因为A 与B 独立，所以A 与B 也独立，从而()()().P A B P A P A B ==.。