由于T时刻的期权价格已知，所以在风险中性的世界里 T t t 时刻每个节点上的期权价格都可以用T时刻在 时刻内无风险 T 2t T t 利率的贴现求得。 时刻每个节点上的期权价格可以用 t 的价格在 时间内无风险利率的贴现求得。以此向后倒推，通 过各个节点，最后得到在0时刻的期权价格。
……………… E S k 1 = pu qd E S k pu qd
k 1
S0
k 1, 2, 3...
（1）
股票价格的二叉树压缩图 → 目的是利用这样的图来对期权以及
证券衍生品定价。同时描述资产组合的行为方式。 u3S0 u2S0 uS0 udS0 ud2S0 dS0
d 2 S0
E S1 =(pu qd ) S 0 E S3 =......= pu qd S 0
3
d 3 S0
q3
q3d3S0
2
3 2 2 2 E S2 = p u S pqudS pqduS q d S0 0 0 0 pu qd S0
欧式期权公式
在期权到期时间T即时间点tM，我们有M+1个节点，（M,0） （M,1）（M,2）…（M,M），各个节点（M,j）对应着概率pMjq j，其大小是S =S uM-jdj,从S 到S 标的资产必定要经历M-j M·j 0 0 M·j 次上涨j次下跌，但上涨和下跌的前后排列则是不定的。 欧式股票期权在时间T的收益是：CM·j=max[SM·j - X,0] 由于SM·j随j递增而递增，所以存在一个j*满足SM·j-1 <k≤SM·j* 根据风险中性评估原则，期权公式可以表示为：
E S3
u3S0 q
u2dS0
ud2S0
q p
p p
q
q
q
q
d 3 S0
3.2 用二叉树模型进行看涨期权定价
在风险中性的世界里，股票的预期收益率为无风险利率r，则在
时间间隔 t 末，股票价格的期望值是S0er△t，则 S0er t puS0 qdS0 S0
即er t pu qd pu (1 p)d (2)
C0 e e
rT rT
E max S T X , 0 e
rT
M M j j p q S M ?j X j j * j
M
M S j j * j
M
0
pu
e r t d p t 由公式（4）， ，这时取 ud 其中节点（2，2）的期权值为： e r t p 28.1 1 p 3.9 ... 21.12
e0.05 0.9 0.7564 =1p 则有 1.1 0.9
p
uS
01-p=q dS0由股票价格的行为模型，在时间区间 t 内股票价格变化的方差 2 2 2 2 E X E X 是 S0 t，变量X的方差等于 2 则 2 2 2 S02 2 t pu 2 S0 1 p d 2 S0 S0 pu 1 p d
u2dS0
d 3 S0 连锁法和期望值：采用的一般方法称为连锁法或后向推导。保 留股票二叉树图的最后一列，即t=3时的股票价格。 p 若X是股票未来价格a和b的期望值，则 a X X=pa+qb 这就是连锁法 b q 用这个法则来计算第三列，即t=2时的股票 价格的期望值。
d 2 S0
p p p
金融数学
第三章 股票与期权的二叉树模型
3.1 股票价格模型
u3S0
u2S0 p S0 1-p=q dS0 uS0 udS0 duS0 u2dS0 uduS0 ud2S0 du2S0 dudS0 d2uS0
p3
p2 q p2 q p2 q 2 p2 q pq 2 pq 2
p3u3S0
p3qu2dS0 p3qu2dS0 pq2ud2S0 p2qu2dS0 pq2ud2S0 pq2ud2S0
Mj
qd
j
rT M M M j j e X p q j j * j
用二叉树模型进行看涨期权定价
假定S0=100，X=105，r=0.05,u=1.1,d=0.9
期权到期时间为t=3，首先构造一个3期股票价格二叉树模型。 133.1 121 108.9 110 99 100 89.1 81 72.9 接着再画出反映3期期权价格的二叉树图。从t=3时刻算起， 倒推期权价格。 133.1-105=28.1 21.12 15.85 108.9-105=3.9 2.81 11.87 0 2.02 0 0 90
Sui d i j
j 0,1,2,..., i
(5）
【注意】在计算图中每个节点的股票价格时，使用了u
的 关系。还要注意股票价格先升后降与先降后升得到的值一样， 也就是树枝在节点上重合。
1 d
u3S u2S
u4S
u2S S
uS
S
uS
S dS d2S d3S
dS
d2S d4S
完成了上述二叉树之后，就可以倒推二叉树来计算期权的价格。
(4)
用（4）可以构造出股票价格的树形结构，称之为股票的二叉树图。
u3S u2S uS S dS uS
u4S
u2S S d2S d4S
S
dS
d2S
d3S
图中，0时刻股票的价格是S，在t
时刻，股票的价格由两种 2t 可能Su和Sd，在 时刻，股票的价格有三种可能性。以此类 推，一般情况下，在 时刻股票的价格有i+1种可能性。即 it
整理得 2 t pu 2 1 p d 2 （3） pu 1 p d 式（2）和（3）为p，u，d的确定提供了两个条件，还有第三个
2
条件，即u
e d p , u e ud
1 d r t 所以有结果为：
t
, d e
t