2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试（十）理
新人教A 版
一、选择题
1．空间中四点可确定的平面有( ) A ．1个 B ．3个
C ．4个
D ．1个或4个或无数个
答案 D
解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面． 2．一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1 答案 C
解析 根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S 底面＝1
2×2×1＝1，棱柱高为h ＝2，∴棱柱的体积为S 棱柱＝S 底面·h ＝1×2＝2.
3．下列命题中，错误的是( )
A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a
C ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d
D ．一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行
答案D
解析A正确，三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面；B正确，两平面平行，一面中的线必平行于另一个平面，平面内的一点与这条线可以确定一个平面，这个平面与已知平面交于一条直线，过该点在这个平面内只有这条直线与a平行；C正确，利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的；D错误，一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，故应选D.
4．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
答案B
解析作AE⊥BD，交BD于E，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AE⊥BC，
而DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，
又∵AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD，
而AB⊂平面ABD，∴BC⊥AB，
即△ABC为直角三角形．故选B.
5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )
A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为8
3
B ．BD ⊥平面PA
C 且三棱锥
D －ABC 的体积为8
3
C ．A
D ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为16
3
D ．BD ⊥平面PAC 且三棱锥D －ABC 的体积为16
3
答案 C
解析 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC ， 又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AD ，
又由三视图可得在△PAC 中，PA ＝AC ＝4，D 为PC 的中点， ∴AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC .
又BC ＝4，∠ADC ＝90°，BC ⊥平面PAC . 故V D －ABC ＝V B －ADC ＝13×12×22×22×4＝16
3.
二、填空题
6．(xx·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧
面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1
V 2
的值是________．
答案 32
解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，
由S 1S 2＝94
， 得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32
. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2，
所以V 1V 2＝πr 2
1h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32
.
7．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在的平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形ABCD 的形状一定是________． 答案 菱形
解析 由于PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BD .
又PC ⊥BD ，且PC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，PC ∩PA ＝P ，所以BD ⊥平面PAC . 又AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥AC . 又四边形ABCD 是平行四边形， 所以四边形ABCD 是菱形．
8．如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么①AD ⊥MN ；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN 、CE 异面．其中正确结论的序号是________．
答案①②③
解析∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别
是BD和AE的中点，取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面
MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；连接AC，CE，根据三角形中位
线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确，④MN、CE异面错误．
三、解答题
9．如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和俯视图在右面画出(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
(3)在所给直观图中连接BC′，证明BC′∥平面EFG.
(1)解如图：
(2)解 所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3
)．
(3)证明 在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中， 连接AD ′，则AD ′∥BC ′.
因为E ，G 分别为AA ′，A ′D ′的中点， 所以AD ′∥EG ， 从而EG ∥BC ′. 又BC ′⊄平面EFG ， 所以BC ′∥平面EFG .
10．平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1所示，其中BB 1C 1C 是矩形，BC ＝2，BB 1＝4，AB ＝AC ＝2，
A 1
B 1＝A 1
C 1＝5，现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠，使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都
与平面BB 1C 1C 垂直，再分别连接A 1A ，A 1B ，A 1C ，得到如图2所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．
(1)证明：AA 1⊥BC ； (2)求AA 1的长；
(3)求二面角A －BC －A 1的余弦值． (1)证明 如图，
取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，
连接AD ，A 1D 1，A 1D ，DD 1. 由条件可知，BC ⊥AD ，B 1C 1⊥A 1D 1.
由上可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ， 由此得AD ∥A 1D 1，即AD ，A 1D 1确定平面AD 1A 1D . 又因为DD 1∥BB 1，BB 1⊥BC ， 所以DD 1⊥BC .
又因为AD ⊥BC ，AD ∩DD 1＝D ， 所以BC ⊥平面AD 1A 1D ， 又∵AA 1⊂平面AD 1A 1D ， 故BC ⊥AA 1.
(2)解 延长A 1D 1到G 点，使GD 1＝AD .连接AG . 因为AD 綊GD 1，所以AG 綊DD 1綊BB 1. 由于BB 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AG ⊥A 1G . 由条件可知，A 1G ＝A 1D 1＋D 1G ＝3，AG ＝4， 所以AA 1＝5.
(3)解 因为BC ⊥平面AD 1A 1D ，
所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角． 在Rt△A 1DD 1中，DD 1＝4，A 1D 1＝2，
解得sin∠D 1DA 1＝
55
， cos∠ADA 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋∠D 1DA 1＝－55，
即二面角A －BC －A 1的余弦值为－
55
.。