2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学参考答案一、单项选择题1.C2.D3.C4.A5.C6. D7.B8.A二、多项选择题9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABC三、填空题13. 34π 14. 0.1 15. 16. 52π，4π四、解答题17.解：若选①：由正弦定理得 ()()()a b a b c b c +-=-， ………………………………2分即222b c a bc +-=， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， ……………………………………4分 因为(0,)A π∈，所以3A π=. …………………………………………6分 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =， …………………………………………8分所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= ……………………………10分 若选 ②：由正弦定理得 sin sin sin cos()6A B B A π=+. …………………………2分因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-， ………………………………………4分即tan 3A =，因为0A π<<，所以6A π=. …………………………6分 又因为2222cos 6a b c bc π=+-，所以2222bc =，即24bc =- ……………8分所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- ………………10分 若选 ③： 由正弦定理得 sin sinsin sin 2B C B A B +=， ……………………………2分 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sin sin 2B C A +=，又因为B C A π+=-， 所以cos 2sin cos 222A A A =， ………………………………………………4分 因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A ≠， ∴1sin 22A =，26A π=，所以3A π=. ……………………………6分 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =， ………………………………………8分所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= …………………………10分 18.解：（1）因为2(1)n n S n a =+，*n ∈N ，所以112(2)n n S n a ++=+，*n ∈N .两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得 1(1)n n na n a +=+，. ………………………………………………2分 即11n n a a n n +=+，*n ∈N ，所以{}n a n为常数列. 所以121n a a n ==， ………………………………………4分 所以 2n a n =. …………………………………………………5分（2）(1)2=(21)4n an n n b a n =--. ……………………………………………6分所以 12314+34+54++(21)4n n T n =⨯⨯⨯-L 231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-⋅+-⋅L . ……7分两式相减得：23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--⋅L ， …………………9分 2+114434+2(21)414n n n T n +--=⨯--⋅-， …………………11分 化简得 120(65)4+99n n n T +-=. ……………………………………12分 19.解：（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF .因为//AD BC ，所以AFD ∆与BCF ∆相似. 所以2BF BC FD AD==. ………………………………………………1分 又=2BE BF ES FD=，所以//EF SD . ……………………………………2分 因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊄平面ACE ，所以直线//SD 平面ACE . ……………………………………4分（2）平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD I 平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面SCD . …………………………………5分以C 为坐标原点，,CD CB u u u r u u u r 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与,CD CB u u u r u u u r 均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. ……6分则(0,0,0)C ，(1,1,0)S ，(0,2,2)A ，224(,,)333E ， (0,2,2)CA =u u u r ，(1,1,0)CS =u u u r ，224(,,)333CE =. ………7分 设平面SAC 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则 00CA CS ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r gm m ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 不妨令1z =，得1x =，1y =-，于是(1,1,1)=-m . …………………9分设平面EAC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00CA CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g n n ，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 不妨令1z =，得1x =-，1y =-，于是(1,1,1)=--m . …………………11分设二面角S AC E --的平面角的大小为θ，则1cos 3θ==g m n m n . 所以二面角S AC E --的余弦值为13. ……………………………………12分 20.解：（1）设1F 为椭圆的左焦点，连接1F B ，由椭圆的对称性可知，1AF F B =， 所以128AF BF BF BF a +=+==，所以4a =， …………………2分又2c e a==，222a b c =+，解得2b =，c =. ………………4分 所以椭圆的标准方程为221164x y +=. ……………………………………5分 （2）设点1122(,),(,)A x y B x y ，则11(3,)QA x y =-u u u r ，22(3,)QB x y =-u u u r ，……6分 联立221164x y k x y =⎧+=⎪⎨⎪⎩，得22(41)160k x +-=， 所以120x x += ，1221641x x k -=+， ……………………………………8分 因为AQB ∠为锐角，所以0QA QB >u u u r u u u r g . ……………………………………9分 所以1212(3)(3)QA QB x x y y =--+u u u r u u u r g12121293()x x x x y y =-+++2121293()(1)x x k x x =-+++ ……………………………10分2216(1)9041k k +=->+， 解得10k >或10k <-. ……………………………………12分 21．解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ， 则1(3,)3X B :. ……………………………………………………2分 因此112312124(1)()()=33279P X C ===. ……………………………………4分 （2）①当1n =时，设该企业每月的实际获利为1Y 万元.若0X =，则1123135Y =⨯-=；若1X =，则1122+81131Y =⨯⨯-=；若2X =，则1121+81+01119Y =⨯⨯⨯-=；若3X =，则1120+81+0217Y =⨯⨯⨯-=； ……………………6分 又0033128(0)()()3327P X C ===，2213126(2)()()3327P X C ===， 3303121(3)()()3327P X C ===， ………………8分 此时，实际获利1Y 的均值1812617733531197=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ ………………9分 ②当2n =时，设该企业每月的实际获利为2Y 万元.若0X =，则2123234Y =⨯-=；若1X =，则2122+81230Y =⨯⨯-=；若2X =，则2121+82226Y =⨯⨯-=；若3X =，则2120+82+01214Y =⨯⨯⨯-=； ………………………11分28126180234302614=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ 因为12EY EY <. 于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用2n =. ………………………………………………12分22. 解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >.()2113'()ln ()222f x x a x x ax a x x =-+-⋅+-， ………………1分 ()(ln 1)x a x =--令()0f x '=，得x a =或e x =. ………………………………………… 2分因为0e a <<，当0x a <<或e x >时，()'0f x >，()f x 单调递增；当e a x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减.所以()f x 的增区间为()0,a ，()e,+∞，减区间为()e ,a . …………………………………………………………………4分（2）取=min{1,2}a δ，则当(0,)x δ∈时，102x a -<，ln 0x <，3204a x ->， 13()()ln (2)024f x x x a x x a x =-+->； 又因为0e a <<，由（1）可知()f x 在(0,)a 上单增，因此,当(0,]x a ∈，恒()0f x >，即()f x 在(0,]a 上无零点. …………………………5分 下面讨论x a >的情况： ①当e 04a <<时，因为()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，且()0f a >，e (e)e()04f a =-<，241(e )=e 04f >，根据零点存在定理，()f x 有两个不同的零点. ……………………6分 ②当e =4a 时，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，且(e)0f =， 此时()f x 有唯一零点e . ……………………………………7分 ③若e e 4a <<，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，e ()(e)e()04f x f a ≥=->， 此时()f x 无零点. ……………………………………………8分 综上，若e 04a <<，()f x 有两个不同的零点；若e =4a ，()f x 有唯一零点e ；若e e 4a <<，()f x 无零点. （3）证明：由（2）知，e 04a <<，且12e a x x <<<. 构造函数2e ()()()F xf x f x=-，(,e)x a ∈. ………………………………9分 则()F x '=4232e e ()(ln 1)()(ln 1)x a x a x x x----- 43243e e (ln 1)x ax ax x x-+-=-. ……………………………………10分 令4324()e e g x x ax ax =-+-，(,e)x a ∈.因为当(,e)x a ∈时，22e 0x ax +->,22e 0x -<，所以43242222()e e =(e )(e )<0g x x ax ax x ax x =-+-+--又ln 1lne 10x -<-=，所以()0F x '>恒成立，即()F x 在(,)a e 单增.于是当e a x <<时，()(e)0F x F <=，即 2e ()()f x f x <. ………………11分 因为1(,e)x a ∈，所211e ()()f x f x <， 又12()()f x f x =，所以221e ()()f x f x <，因为2e x >，221e e e ex >=，且()f x 在(e,)+∞单增， 所以由221e ()()f x f x <，可得221e x x <，即212e x x <. ………………………12分。