第2章 刚体的定轴转动习题 2.1 一个做匀变速转动的飞轮在10s 内转过16圈（r ），其末速度为151-⋅s rad ，求角加速度的大小。
解：根据at -=ωω0和2021at t +=ωθ，有 ()22t t a θω-=式中 ππθ322==n ，代入数据得299.0-⋅=s rad a习题 2.2 一转速为1800 r/min 的飞轮因受制动而均匀地减速，经过20s 停止转动。
求：（1）角加速度；（2）从制动开始到停止转动飞轮转过的圈数；（3）制动开始后10s 时飞轮的角速度；（4）设飞轮半径为0.5m ，求t = 10s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。
解：（1）s t s rad n 20.0,606018002210==⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⨯==-ωπππω，所以 2032060-⋅-=-=-=s rad t a ππωω （2） 从制动开始转过的角位移θ及圈数N 为rad at t πππωθ60020321206021220=⨯⨯-⨯=+=30026002===πππθN （3） t = 10 s 时飞轮边缘上一点的线速度为103010360-⋅=⨯-=+=s rad at πππωω（4）t = 10 s 时飞轮边缘上一点的线速度为 11.47305.0-⋅=⨯==s m r v πω相应的相切及法向加速度为2171.45.15.03-⋅-=-=⨯-==s m ar a ππ()2322221044.44505.030-⋅⨯==⨯==s m r a ππω习题 2.3 在边长为a 的正方形的顶点上，分别有质量为m 的4个质点，求此系统绕下列转轴的转动惯量: (1)通过其中一质点A ，平行于对角线BD的转轴，如题图2.3所示；（2）通过A 垂直于质点所在平面的转轴。
解：由转动惯量定义，可求得（1）()22232222ma am a m J =+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= （2）()222422ma a m ma J =+=习题 2.4 在题图2.4所示的系统中，1m = 50kg ，kg m 402=，圆盘形滑轮质量m= 16kg ，半径 r = 0.1m ，若斜面是光滑的，倾角为030，绳与滑轮间无相对滑动，不计滑轮轴上的摩擦，求：（1）绳中的张力；（2）运动开始时，2m 距地面高度为1m 时，需多少时间2m 到达地面？解：（1）对滑轮及1m 、2m 受力分析可知，1m 受重力1m g 及绳的拉力习题2.6 在题图2.6所示的装置中，物体的质量为21m m ，定滑轮的质量为'1m 、'2m ，半径为1R 、2R ,设绳长度不变，质量不计。
滑轮为匀质分布，忽略轴处摩擦。
求物体的加速度及绳中张力。
解： 设2m 的加速度大小为a 方向向上，则1m 的加速度向下，大小也是a ，二滑轮角加速度分别为11R a a =和22R a a =，列方程： a m F g m 111=- （1）a m g m F 222=- （2）121'11113221)(a R m a J R F F ==- （3）11R a a = (4)()222'22222321a R m a J R F F ==- （5） 22R a a = (6) (1)到（6）式联立解得()()()()()()()()()g m m m m m m m m m m F g m m m m m m m m m F g m m m m m m m m m F g m m m m m m a '2'121'12'21213'2'121'2'12212'2'121'2'11211'2'12121242)(42)(422+++++=+++++=+++++=+++-=习题2.7如图2.7所示，质量分别为m 和2m 、半径分别为r 和2r 的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为2/92mr ，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂有一质量为m 的重物。
求盘的角加速度的大小。
解：受力分析如图2.7（b ），根据牛顿第二定律、刚体转动定理以及运动学关系可得方程组 ()1221211222292a ra a ra a mr r F r F ma mg F ma F mg ===-=-=-联立上述5个方程，解得 rg a 192= 习题 2.8 一蒸汽机的圆盘形飞轮质量为200kg ，半径为1m ，当飞轮转速为1201min -⋅rad 时关闭蒸汽阀门，若飞轮在5min 内停下来，求在此期间飞轮轴上的平均摩擦力矩及此力矩所做的功。
解： 104602120-⋅=⨯=s rad ππω t t a at 00,ωωωωω-=-==-由定轴转动定理m N m N t mR Ja M ⋅-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==19.4605412002121202πω 力矩的功为()J J mR J A 32220220109.74120021212121210⨯-=⨯⨯⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=πωω 习题2.9 如图2.9所示，A 、B 两飞轮的轴杆在同一中心线上，两轮转动惯量分别为222010m kg J m kg J B A ⋅=⋅=和,开始时，A 轮转速600 1min -⋅rad ，B轮静止；当二轮齿合时，B 轮得到加速而A 轮减速，直到二轮转速相等。
求：（1）两轮齿合后的转速：（2）齿合过程中损失的机械能。
解： （1）系统齿合过程受轴向正压力，对轴的力矩为零，受切向摩擦力，其力矩为内力矩，所以角动量守恒，有 ()ωωωB A B B A A J J J J +=+W 为齿合后二轮共同角速度，由于开始时B 轮静止，于是BA A AB A B B A A J J J J J J J +=++=ωωωω 代入数据得 1119.20min 60/2200min 200---⋅=⋅⨯=⋅=s rad rad rad πω（2）齿合过程摩擦力矩做功，机械能不守恒，损失的机械能为()JJ J J J J E B A A A 422221031.1602200)2010(2160260010212121⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=+-=∆ππωω 习题2.10 如图2.10，质量为1m ，长为L 的匀速直杆可绕垂直于棒的一端的水平轴无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上，现在一质量为2m 的弹性小球飞来与棒在下端垂直相撞，使棒转至最大角度030=θ处，且碰撞是弹性碰撞，求小球初速度0v 的大小。
解： 设小球的初速度大小为0v ，碰撞后棒的初角速度为ω，而小球的速度大小为v ，由于弹性碰撞，碰撞过程遵守机械能守恒和角速度动量守恒：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=222322220221202v m J v m L m J vL m J L v m ωω （1） 又因为碰撞后，棒的上摆过程也遵循机械能守恒，则有()01230cos 122-=L g m J ω ()212101231330cos 1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=L g J gL m ω （2） 把（2）的表达式与（1）中的几个方程联立，求解得:()21222031232612m m m gL L m J L v +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ω 习题2.11 如图2.11所示，长为L ，质量为1m 的均匀细棒，上端悬挂在O 点，可绕水平轴无摩擦地转动。
在同一悬点，有一长为l 的轻绳系一质量为2m 的小球。
当小球悬线偏离竖直方向某个角度由静止释放时，小球在悬点的正下方与静止的棒发生弹性碰撞，问线长为多少时小球与棒碰后小球刚好静止。
解： 以小球和棒为研究对象，碰撞过程满足角动量守恒和机械能守恒，因而可得方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==22122221231212123ωωωωL m j v m L m j vl m 解此方程组得处 212231L m J l m ==所以 213m m L l = 习题2.12 一根放在水平光滑桌面上的质量均匀的棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O 转动。
棒的质量为m = 1.5㎏，长度为 L = 1.0 m ，对轴的转动惯量为231mL J =。
初始时棒静止。
现有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端并留在帮内，如图2.12所示。
子弹的质量为 m = 0.020㎏，速率为1400-⋅=s m v ，求：（1）棒开始和子弹一起转动时的角速度ω为多大？（2）设棒转动时受到大小为m N M r ⋅=0.4的恒定阻力矩作用，则棒所能转过的角速度θ有多大？解： （1）以子弹和棒为研究对象，子弹垂直地射入棒时满足角动量守恒定律，可列方程: ω⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2'2'31L m mL vL m 代入数据得 14.15-⋅=s rad ω（2）以子弹和棒为研究对象，根据转动定理和运动学方程可列方程：rada a L m mL M r 4.15203122'2==-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-θθω。