专题09 解密空间向量的运算技巧
一、选择题
1．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知，，，若
且，则点的坐标为（）
A. B. 或C. D. 或
【答案】B
2．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知空间上的两点，，
以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴
设正方体的棱长为，由题意可得，解得
∴正方体的体积为，故选D
3．【重庆市第一中学2018届高三上学期期中】已知直角坐标系中点，向量，，则点的坐标为（）
A .
B .
C .
D .
【答案】C 【解析】∵向量，，
∴，又
∴
∴点的坐标为
故选：C
4．【贵州省兴义市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知四棱锥P ABCD -中， ()4,2,3AB =-，
()4,1,0AD =-， ()6,2,8AP =--，则点P 到底面ABCD 的距离为（ ）
A .
26 B 26
C . 1
D . 2 【答案】D
5．【北京市第四中学（房山分校）2016-2017学年高二上学期期中】若(),1,3a x =-， ()2,,6b y =，且a b ，则（ ）．
A . 1x =， 2y =-
B . 1x =， 2y =
C . 1
2
x =
， 2y =- D . 1x =-， 2y =- 【答案】A
【解析】∵(),1,3a x =-， ()2,,6b y =， a b ， ∴存在实数λ，使得a b λ=，
可得2{1 36x y λ
λλ
=-==，
解得1
2
λ=
， 1x =， 2y =-． 故选： A ．
6．以下四组向量中，互相平行的有（ ）组．
（1）()1,2,1a =， ()1,2,3b =-．（2）()8,4,6a =-， ()4,2,3b =-． （3）()0,1,1a =-， ()0,3,3b =-．（4）()3,2,0a =-， ()4,3,3b =-．
A . 一
B . 二
C . 三
D . 四
【答案】B
7．下列各组向量平行的是（ ）．
A . ()1,1,2a =-， ()3,3,6b =--
B . ()0,1,0a =， ()1,0,1b =
C . ()0,1,1a =-， ()0,2,1b =-
D . ()1,0,0a =， ()0,0,1b =
【答案】A
【解析】A 项， ()1,1,2a -， ()3,3,6b --，
336
3112
--===--， 即a b ． 故选A .
8．【北京海淀北方交大附2016-2017学年高二上学期期中】若ABCD 为平行四边形，且()4,1,3A ， ()2,5,1B -， ()3,7,5C --，则顶点D 的坐标为（ ）
． A . ()1,13,3-- B . ()2,3,1 C . ()3,1,5- D . 7
,4,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】设()000,,D x y z ，
∵()24,51,13AB =----
()2,6,2=---．
()0003,7,5DC x y z =-----，
联立①②，
解出： 01x =-， 013y =， 03z =-． 故选A ．
9．【福建省泉州市南安第一中学2016-2017学年高一下学期第二次阶段考】如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )
A . 1e ＋2e
B . 21e －2e
C . －21e ＋2e
D . 21e ＋2e
【答案】C
【解析】以向量1e 的起点为原点，向量1e 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系。

设正方形的边长为1，则
()()()121,0,1,1,3,1e e a ==-=-。

设12a xe ye =+，则()()()()3,11,01,1,x y x y y -=+-=-， ∴3{
1x y y -=-=，解得2
{ 1
x y =-=，所以122a e e =-+。

选C 。

点睛：由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。

常用的方法有两种：（1）根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化；（2）先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解。

10．如图所示，已知A ， B ， C 三点不共线， P 为平面ABC 内一定点， O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP 的为（ ）.
A . 22OA O
B O
C ++ B . 32OA AB AC -- C . 23OA AB AC +-
D . 32OA AB AC +-
【答案】D
11．【甘肃省临夏中学2016-2017学年高一下学期第一次月考】点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是
( )
A . (－3, 3，－1)
B . (－3，－3，－1)
C . (3，－3，－1)
D . (3, 3 ,1)
【答案】D
【解析】由于点M (3，－3,1)关于xOz 平面对称，所以该点的x ，z 坐标不变，即点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是(3, 3 ,1)，应选答案D 。

12．若
，
，且
，则的值是（ ）
A . 0
B . 1
C . -2
D . 2
【答案】C 【解析】，
,
.
若，则
.
即，解得. 故选C .
13．【江西省新余市2016-2017学年高二下学期期末】已知向量()()0,2,1,1,1,2a b ==--，则a 与b 的夹角为（ ）
A . 0
B .
4π C . 2
π
D . π 【答案】C
【解析】由题设0220a b ⋅=+-=，故a b ⊥，应选答案C 。

二、填空题
14．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】空间直角坐标系中，点关于
原点对称的点为，则点的坐标为__________. 【答案】
【解析】由中点坐标公式可知，点点
关于原点的对称点的坐标为
，故答案为
.
15．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】点()2,3,5A 关于坐标平面xoy 的对称点B 的坐标是________． 【答案】()2,3,5-
16．【北京海淀中关村中学2016-2017高二上学期期中】已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，
n ，且()1,2,5m =-， ()3,6,n z =-，则z =__________.
【答案】3
【解析】∵αβ⊥，且平面α与平面β的法向量分别为m ， n ， ∴()()1,2,53,6,31250m n z z ⋅=--=--+=， 解得： 3z =． 17．如图所示的长方体
中，
，
，
，则
的中点的坐标为__________，
___________．
【答案】
18．【江西省景德镇市2016-2017学年高一下学期期中】点()2,1,3P -在坐标平面xOz 内的投影点坐标为______________；
【答案】()2,0,3
【解析】设所求的点为Q （x ，y ，z ），
P 、Q 两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标为0，
即x =2，y =0，z =3，得Q 坐标为（2,0,3）
三、解答题
19．【北京西城44中2016-2017学年高二上学期期中】若向量()1,1,2a =-， ()2,0,1b =-， ()0,1,2c =，求a b c ++， ()()
232a b a b -⋅+以及cos ,a b c +的值．
【答案】15
15
-
【解析】试题分析：根据向量加法的坐标运算得a b c ++ ()1,2,1=-，根据模长运算公式可得结果；根据数量积运算公式可得()()
232a b a b -⋅+，根据向量夹角公式可得cos ,a b c +的值.
20．【北京海淀中关村中学2016-2017高二上学期期中】已知向量()2,1,2a =--， ()1,1,4b =-. （1）计算23a b -和23a b -. （2）求,a b .
【答案】(1) ()231,5,8a b -=-； 23310a b -=.(2) 4
π
. 【解析】试题分析：
(1)由题意结合空间向量的运算法则可得()231,5,8a b -=-.结合模长公式有
(
2231a b -=+
(2)首先求得向量夹角余弦值为2
π,4a b =.
试题解析：
（1）()()()()()2322,1,231,1,44,2,43,3,121,5,8a b -=----=----=-.
(
2231a b -=+。