高级微观经济学复习题一、设某消费者的马歇尔需求函数为1(,),1,2,...,k Lll wx p w k L p===∑，求解如下问题：（一）这一需求函数在(,)p w 上是零次齐次的吗？（二）这一需求函数满足预算平衡性吗？（三）这一需求函数是否满足显示偏好弱公理（WARP ）？（四）求这一需求函数的斯卢茨基（替代）矩阵，并判断其是否为（半）负定矩阵以及对称矩阵。

二、设市场上只有三种物品，令消费者的效用函数为：123123(,,)f q q q q q q =，预算约束为：112233yp q p q p q =++。

假设1212(/)c q q p p q =+为一种复合物品，试以c q 的方式阐述消费者的最优化问题，并求出c q 的马歇尔需求函数。

三、设消费者的效用函数为()ln u w w =。

该消费者现在面临一个赌局：若他下注x 元，硬币正面朝上时他将有()w x +元，正面朝下时他将有()w x -元。

设硬币正面朝上的概率为π，求解如下问题：（一）求证消费者最优赌注x *为π的函数。

（二）当1/2π=时，此消费者是否会参加该赌局？如果参加，则会下注多少？试给出解释。

四、设消费者的间接效用函数为：12(,),(0,0)v p w wp p αβαβ=<<。

试求消费者对应的直接效用函数。

五、一个厂商有两个生产车间生产同一种产品，其中一个车间按照成本函数2111()c y y =进行生产，另一个车间按照成本函数2222()c y y =进行生产，设厂商的总产量为y ，求该厂商的成本函数。

六、设某一厂商的生产函数为：/12(),(1,01)y x x ρρβρβρ=+<≠<。

求该厂商的供给函数、条件投入需求函数和利润函数。

七、设某人的效用函数为1212(,)u x x x x =，其收入100m =，最初商品价格为0(1,1)p =，假设现在商品价格变化为1(1/4,1)p =，试计算对应的CV与CS ∆。

高级微观经济学复习题参考答案一、解：（一）由于（设0α>）：111(,)(,),1,2,...,()k k LLLll ll l l ww wx p w x p w k Lpp pαααααα========∑∑∑故这一需求函数在(,)p w 上是零次齐次的。

（二）由于：11111(,)()LkL Lk k k kLLk k l ll l pp w p x p w w wp p========∑∑∑∑∑故这一需求函数满足预算平衡性。

（三）运用反证法：假设该需求函数不满足显示偏好弱公理，则对于不同的两个消费束0x 与1x 以及对应的价格向量0p 与1p ，消费者在价格向量为0p 时选择0x ，在价格向量为1p 时选择1x ，但是在0001p x p x ≥时，有1110p x p x ≥。

对相关记号作如下变换：01010011,,(,),(,),,p p p p x p w x x p w x w p x w p x ''''====== 经过上述变换，有：(,),(,)px p w w p x p w w ''''≤≤由(,)p x p w w ''≤，可得：11Lll Lll p ww p ==''≤∑∑即：11LLlll l ww p p =='≤'∑∑同理，由(,)px p w w ''≤，可得：11LLl ll l w wp p =='≤'∑∑因此，由上述两式有：11LLl ll l w wp p=='='∑∑即(,)(,)x p w x p w ''=，这意味着01x x =，与0x 和1x 是不同的消费束矛盾。

故假设不成立，这一需求函数满足显示偏好弱公理。

（四）这一需求函数的斯卢茨基矩阵中的任意元素为：2111(,)(,)(,)10,(,1,2,...,)()l l lk k k LLL l l l l l l x p w x p w S x p w p w w wl k L p p p===∂∂=+∂∂=-+==∑∑∑故对应的斯卢茨基矩阵为：*0...0(,).........0...0L Ls p w ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，显然该矩阵是对称的，而且是半负定的（对应的二次型等于0）。

二、解：消费者的效用最大化问题为：123123123,,112233max :(,,)..:q q q f q q q q q q s t y p q p q p q ==++用1212(/)c q q p p q =+代入消去1q ，消费者的效用最大化问题可以改写为：23223223,,1133max :(,,)()..:c c c q q q c p f q q q q q q q p s t y p q p q =-=+构造拉格朗日函数可得：2232231331(,,,)()()c c c p L q q q q q q q y p q p q p λλ=-+-- 利用最优化问题的一阶条件对拉格朗日函数求偏导数并分别令各偏导数等于0，可得：231222232311232231133/0/()()0/()0/0c c c c L q q q p p p L q q q q q q p p p L q q q q p p L y p q p q λλλ∂∂=-=∂∂=-+-=∂∂=--=∂∂=--=解如上方程组，可得c q 的马歇尔需求函数为：123c y q p =三、解：（一）根据题意，消费者的期望效用函数可以写为：()()(1)()U y u w x u w x ππ=++--用消费者的具体效用函数形式代入，相对应的期望效用函数最大化问题可以写为：max :()ln()(1)ln()xU y w x w x ππ=++--设该最优化问题的解为x *，则x *满足该最优化问题的一阶条件：1()0U y w x w x ππ**-'=-=+-解之可得：(21)x w π*=-，故可得最优赌注x *为π的函数。

（二）当1/2π=时，由第（一）题结论可得：(21)0x w π*=-=，故消费者的最优赌注为0，这意味着消费者不会参加该赌局。

实际上，该消费者的绝对风险厌恶系数为：()1()0()a u w R w u w w''=-=>'故可得该消费者在任何财富水平上均为风险厌恶者，不会选择参加任何带有风险性质的赌局。

四、解：令1w =，则间接效用函数为：12(,1)v p p p αβ=，设消费者对两种商品的需求分别为1x 和2x ，则对应的最优化问题为：121212,1122(,)min :..:1p p u x x p p s t p x p x αβ=+=构造拉格朗日函数可得：12121122(,,)(1)L p p p p p x p x αβλλ=++-利用最优化问题的一阶条件对拉格朗日函数求偏导数并分别令各偏导数等于0，可得：11121121221122/0/0/10L p p p x L p p p x L p x p x αβαβαλβλλ--∂∂=+=∂∂=+=∂∂=+-=解之可得：121211,p p x x αβαβαβ**==++将其代入目标函数可得：12121211(,)()()()u x x x x x x αβαβαβαβαβαβαβαβαβ--+==+++令：12,0,0()A αβαβαβαααβαβ+==->=->+，则直接效用函数的形式为：121212(,)u x x Ax x αα=五、解：根据题意，厂商的成本最小化问题可以写为：122212,12()min :..:y y c y y y s t y y y=++=构造拉格朗日函数可得：22121212(,,)()L y y y y y y y λλ=+++-利用最优化问题的一阶条件对拉格朗日函数求偏导数并分别令各偏导数等于0，可得：112212/20/20/0L y y L y y L y y y λλλ∂∂=+=∂∂=+=∂∂=+-=解之可得：12/2y y y **==，代入目标函数，可得厂商的成本函数为：2()/2c y y =六、解：根据题意，设两种投入要素的价格分别为1ω和2ω，产品的价格为p ，则厂商的利润最大化问题可以写为：12121122(,,)/12(,,)max :..:()x x y p py x x s t x x yρρβρπωωωω=--+=构造拉格朗日函数可得：/12112212(,,,)[()]L x x y py x x x x y ρρβρλωωλ=--++- 利用最优化问题的一阶条件对拉格朗日函数求偏导数并分别令各偏导数等于0，可得：()/111121()/122122/12/()0/()0/0/()0L x x x x L x x x x L y p L x x y ρρβρρρρρβρρρρρβρωλβωλβλλ----∂∂=-++=∂∂=-++=∂∂=-=∂∂=+-=解之可得条件投入需求函数为：1/(1)1/(1)/(1)/(1)()/(1)1212(,,)()(),1,2i i x p p i ρβρρρρρβρβωωωβωω-------=+= 将其代入约束条件可得供给函数为：/(1)/(1)/(1)(1)/(1)1212(,,)()()y p p ββρρρρβρρβωωβωω------=+再将上述两个最优解代入目标函数，可得利润函数为：1/(1)/(1)/(1)(1)/(1)/(1)1212(,,)()(1)p p βρρρρβρρβββπωωωωββ--------=+- 七、解：先求解效用最大化问题，如下所示：1212,1122max :..:100x x x x s t p x p x +=构造拉格朗日函数可得：12121122(,,)(100)L x x x x p x p x λλ=+--利用最优化问题的一阶条件对拉格朗日函数求偏导数并分别令各偏导数等于0，可得：1212121122/0/0/1000L x x p L x x p L p x p x λλλ∂∂=-=∂∂=-=∂∂=--=可以解得马歇尔需求函数为：112212125050(,,),(,,)x p p y x p p y p p ==故当价格水平为0(1,1)p =时，1250x x ==，从而效用水平0122500u x x ==，当价格水平为1(1/4,1)p =时，12200,50x x ==，从而效用水平11210000u x x ==。