一、三角形内角和定理 一、 选择题1.如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角α等于（ ）A ．75 B ．60 C ．45 D ．303.如图，直线m n ∥，︒∠1=55，︒∠2=45，则∠3的度数为（ ） A ．80︒ B ．90︒ C ．100︒ D ．110︒【解析】选C. 如图，由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠， 由m n ∥，得010043=∠=∠ 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°， 则3∠的度数等于（ ） A ．50°B ．30°C ．20°D ．15°【解析】选C 在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°， 所以∠3=20°；6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于（ ）. A.20° B. 35° C. 45° D.55°【解析】选D 因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB ＝55º，又因为AB ∥CD,所以∠C ＝∠EFB ＝55º； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形或锐角三角形【解析】选B 因为△ABC 的一个外角为50°，所以与△ABC 的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形.ABCD 40°120°α8.（2008·聊城中考）如图，11002145∠=∠=，，那么3∠=（ ）6A ．55°B ．65°C ．75°D ．85°答案：选B 二、 填空题9.（2009·常德中考）如图，已知//AE BD ，∠1=130o ，∠2=30o ，则∠C = ．【解析】由//AE BD 得∠AEC=∠2=30o ，∴∠C =180°-∠1-∠AEC=180°-130o -30o =20o 答案：20o10.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF,过点F 作FP ⊥EP,垂足为P ，若∠PEF=300,则∠PFC=__________。

【解析】由EP 平分∠AEF, ∠PEF=300得∠AEF=600，由A B//CD 得∠EFC=1200，由FP ⊥EP 得∠P=900， ∴∠PFE=1800-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600. 答案：60°11.（2008·长沙中考）△ABC 中，∠A=55︒，∠B=25︒，则∠C= . 答案：100°12.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得100A ∠=，40B∠=，这块三角形木板另外一个角是 度．答案：4013.（2008·内江中考）在如图所示的四边形中，若去掉一个50的角得到一个五边形，则12+=∠∠ 度．答案：230 三、 解答题14.（2010·黄冈中考）如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由。

【解析】提示：由∠H ＝∠FCE ，AH ＝CE ，∠HAE ＝∠FEC 可证△HAE ≌△CEF ，从而得到AE ＝EF. 15.（2009·淄博中考）如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37º，求∠D 的度数．【解析】∵AB ∥CD ， ∠A =37º，∴∠ECD =∠A =37º． ∵DE ⊥AE ，∴∠D =180 º–90º–∠ECD =180 º–90º–37º=53º．16.（2009·嘉兴中考）在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小． 【解析】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠ ．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ． 解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C 二、特殊三角形1．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=4：5：9，则△ABC 是（ c ） A ． 直角三角形，且∠A=90° B ． 直角三角形，且∠B=90° C ． 直角三角形，且∠C=90°D ． 锐角三角形2．在等腰△ABC 中，如果AB 的长是BC 的2倍，且周长为40，那么AB 等于（ b ） A ． 20 B ． 16C ． 20或16D ． 以上都不对3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是分析： 本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 解答： 解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°； 当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣20°=70°．综上，三角形的顶角度数为110°或70°.4．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 与∠BCA 的平分线AD 、CD 交于点D ，若∠B=70°，则∠ADC= 125 度．考点： 三角形内角和定理；角平分线的定义。

菁优网版权所有5．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若AB=13，AC=5，则△ACD 的周长为即△ACD的周长为176．如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．考点：等腰三角形的判定；平行线的性质。

菁优网版权所有分析：利用等腰三角形的三线合一的性质：底边上的高与顶角的平分线、底边上的中线重合．得到∠BAD=∠CAD，两直线平行，内错角相等，则∠BAD=∠ADE，即∠CAD=∠ADE，即可证得△ADE是等腰三角形．解答：解：△ADE是等腰三角形．理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等），∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE（等角对等比），∴△ADE是等腰三角形．点评：本题利用了等腰三角形的判定及性质和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

菁优网版权所有分析：根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD 从而证得BD=2CE．解答：证明：∵∠ABC的平分线交AC于D，∴∠FBE=∠CBE，∵BE⊥CF，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△BFE和△BCE中，∴△BFE≌△BCE（ASA），∴CE=EF，∴CF=2CE，∵∠BAC=90°，且AB=AC，∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠FBE=∠CBE=22.5°， ∴∠F=∠ADB=67.5°， 又AB=AC ，在△ABD 和△ACF 中，，∴△ABD ≌△ACF （AAS ）， ∴BD=CF ， ∴BD=2CE ．三：三角形全等的判定及其应用 一、 选择题1.(2009·江西中考)如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的 是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠【解析】选C.根据SSS 可知添加A 正确，根据SAS 可知添加B 正确, 根据HL 可知添加D 正确. 2.（2009·江苏中考）如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组【解析】选C. ①②③均可.3.（2009·太原中考）如图，ACB A CB ''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A.20° B.30°C.35°D.40°DABC E【解析】选B.由ACB A CB ''△≌△得A C B BCA ''∠=∠, ∴ACA '∠.30 ='∠='∠-''∠='∠-∠=B BC A BC B C A A BC BCA4.（2010·温州中考）如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】选D.在矩形ABCD 中，△CDA 、△BAD 、△DCB 都和△ABC 全等，由题意不难得出 四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，得出△ＤＣＥ也和△ABC 全等．5.（2009·黄冈中考）在△ABC 和C B A '''∆中，∠C ＝C '∠，且b-a=a b '-',b+a=a b '+',则这两个三角 形（ ）A.不一定全等B.不全等C.全等，根据“ASA”D. 全等，根据“SAS” 【解析】选D.由b-a=a b '-',b+a=a b '+'可得a a '=，b b '=，又∠C ＝C '∠，根据“SAS”，可得这两个三角形全等.6.（2010·凉山中考）如图所示，90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】选C ∵90EF ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =,∴△ABE ≌△ACF,∴∠EAB=∠FAC,∴FAN EAM ∠=∠∴△EAM ≌△FAN,∴EMFN =.易证△ACN ≌△ABM.7.（2007·诸暨中考）如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的AEFB CDMN图形是（ ）A ．甲乙B ．甲丙C ．乙丙D ．乙 答案：选C. 二、 填空题8.（2009·清远中考）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠=【解析】 3040110180180=--=∠-∠-=∠B A C ,由111ABC A B C △≌△得1C ∠= 30=∠C答案： 309、（2009·怀化中考）如图，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是 （写出一个即可）．【解析】如AE=AC 或∠B ＝∠D ． 答案：AE=AC （答案不唯一）；10、（2009·龙岩中考）如图，点B 、E 、F 、C 在同一直线上． 已知∠A =∠D ，∠B =∠C ，要使 △ABF ≌△DCE ，需要补充的一个条件是 （写出一个即可）．答案：AB = DC （填AF=DE 或BF=CE 或BE =CF 也对）11.（2010·兰州中考）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ．A CEBD【解析】过点E 作EF ⊥AF 交AD 的延长线于点F ，过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，因此四边形ABMD 是矩形，则BM=AD=2,且∠EFD=∠DMC=90°,根据题意可知DE=DC,∠EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°,又因为∠CDM+∠CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM ，从而△EDF ≌△MCD,CM=EF,因为△ADE 的面积为3，AD = 2，所以EF=3,所以BC=BM+CM=5. 答案：512．（2008·黑河中考）如图，BACABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD =（只添一个即可）．答案：CD ∠=∠或ABC BAD ∠=∠或AC BD =或OAD OBC ∠=∠三、 解答题13.（2009·宜宾中考）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CB,AD=CD. 求证：∠C=∠A.【证明】 因为AB=CB,AD=CD ， 又因为BD=BD ， 所以△ABD ≌△CBD ， 所以∠C=∠A.14．（2010·黄冈中考）如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由。