x
z
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py P
y
② 应力
My引起的应力：
MyzMzcojs
Iy
Iy
M z引起的应力：
MzyMysijn
Iz
Iz
合应力： M(zcoj sysijn)
Iy
Iz
m
x
z
x
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py P
y
③ 中性轴方程 M(z0cojsy0sijn)0 中性轴
Iy
Iz
D2
tg y0 Iz ctgj
均布力作用， []=12MPa，许可挠度为L/200 ，E=9GPa，试选
择截面尺寸并校核刚度。
解：① 外力分析—分解q
yq
z
26°34´
q
A
B
L
qyqsin 80 0.0 44 375 N8/m
q z q co 8 s 0 0 .8 0 9 74 N 15 /m
Mzmaxqy8L235838240N 3m Myma xqz8L271 83 5280N4m
az
中性轴
1 yP y0 zPz0 0
iz2
iy2
ay
截面核心
已知 ay， az 后 ，
z
1
yPa y
i
2 z
0
1
z
Pa
i
2 y
z
0
P(zP,yP)
可求 P力的一个作用点 (zP,yP)
y
利用以上关系可确定截面核心的边界
例3 分别确定圆截面与矩形截面的截面核心.
Dy
4 1
3 A1 (a)圆截面
k
l (-h/6,0)
x
Pz
h
Pz
zj
z
Py
L Py
D2
Py
Py
fz
f
fy
最大正应力
变形计算
LmaxD1M WzzM WyyD2
当Iy = Iz时，即发生平面弯曲。
f
fy2fz2
(PyL3)2(PzL3)2 3EzI 3EyI
tg
f
y
I
y
tgj
fz Iz
例2 矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为q=800N/m的
maxM Wzz
My Wy
§8–3 拉伸(压缩)与弯曲 一、横向力与轴向力共同作用：
杆件发生弯曲与拉伸（压缩）的组合变形。
F
Ft
Ft
l/2
l/2
轴力： FN Ft
轴力引起正应力：
t
FN A
Ft A
最大弯矩：
Mmax
1 4
Fl
弯矩引起正应力：
b
Mmax Fl W 4W
横截面最大正应力：
t,max
内的最大正应力。
解：两柱均为压应力
P
P
dP
1maxAP1 W Mz1
200
300
200
350000 0.20.3
3500000.05 0.20.32
6
11.7MPa
图（1）
图（2）
P M
2maxPA03.25000.200
8.75MPa
§8–4 扭转与弯曲
x
B
13
2
()2 2
2
2 0
塑性材料，通常使用第三或第四强度理论
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的 强度条件。
§8–2 两相互垂直平面内的弯曲 (斜弯曲)
一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力 （横向力）不共面。
二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交
的平面弯曲。
Pz
zj
Py P
y
z y
斜弯曲的强度条件
ma x M zm Izy am xa x M ym Iyz a m xa x M W zm z a x M W ym y a x
式中
Wz
Iz , ymax
Wy
Iy z max
例1结构如图，P过形心且与z轴成j角，求此梁的最大应力与挠度。
解：危险点分析如图
b
中性轴
D1
Ft Fl A 4W
二、偏心拉伸（压缩）： 作用在直杆上的外力，作用线与杆的轴线平行但不重合。 将引起偏心拉伸或偏心压缩。
x
P
P y
z
My
x z Mz
Py My
二、应力分析：
x
z Mz P y
P
MZ
My
My
xP
P A
xM
z
M I
z z
y
xMy
Myz Iy
x
PMzyMyz
A Iz
Iy
三、中性轴方程
若用第三强度理论
r313242
若用第四强度理论
r4 232
弯曲正应力 M W
扭转切应力 T WP
r3
(M)24(T)2 W W P
四、危险点 （距中性轴最远的点）
对于周边无棱角的截面，作两条与中性轴平行的直线， 与截面的周边相切，两切点即为对应的危险点。
z
D1
y
D2
对于有棱角的截面， 危险点必定在棱角处。
中性轴
ymaxP AM Wzz
My Wy
LmaxP AM Wzz
My Wy
五、（偏心拉、压问题的）截面核心：
当压力作用在此区域内时，可以保证中性轴与横截面不相交。
§8–1 概 述
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简 单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略 之，这类构件的变形称为组合变形。
P
P
z
R
x
M
y
P
hg
P q
hg
水坝
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图， 确定危险面。
Pz
z0 Iy
zj
可见：只有当Iy = Iz时，中性轴与外力才垂直。 D1
Py
④ 最大正应力
P y
在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。
Lmax D2
ymax D1
fz
⑤ 变形计算
f
f
y2
f
2 z
tg f y fz
f fy
当j = ，即Iy = Iz时,为平面弯曲(截面的挠度垂直于中性轴)。
x
PMzy0 A Iz
Myz0 Iy
0
对于偏心拉压问题
中性轴 y
z P(zP,yP)
P PyP y0 PzP z0
A Aiz2
Aiy2
P (1 A
yP y0 iz2
z
P z0 iy2
)
0
1
yPy0 iz2
zPz0 iy2
0
令z0 0
ay
iz2 yP
令y0 0
az
iy2 zP
故中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧。
根据对称性,它
n(-b/6,0) m(b/6,0) 的截面核心必为一
h
z
C
z 圆。中性轴与C点相
截面核心
k(h/6,0)
切,则
C
中性轴 2
b
4
y
2 3
ay
D 2
ey
iz2 ay
D2 16
D
D, 8
2
az
ez
iy2 az
0
圆截面核心为一直径为D/4的圆；矩形截面核心如图。
例4 图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求出两柱
x
Pz
Py
P
平面弯曲
斜弯曲
2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
z y
Pz
Py
P
x
Pz
zj
Py P
y
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 PyPsinj PzPcojs
2.研究两个平面弯曲
① 内力
M z Py ( Lx)
P ( L x )s inj M sinj
m
MyMcojs