0 ≤ x i ≤ ai ,
0 ≤ y i ≤ bi ,
i = 1, , , , , , , 2345678
x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 ≤ 100 x 6 + x 7 + x 8 + y 6 + y 7 + y 8 ≤ 115
x 2 + x 4 + x 7 + y 2 + y 4 + y 7 ≤ 120 x 3 + x 5 + x 8 + y 3 + y 5 + y 8 ≤ 110
St.louis，Buffalo 中的 450 运到 New York，剩下的运到 Phila。运费最少为 6400.
5. 投资策略
某部门现有资金 10 万元，五年内有以下投资项目可供选择： 项目 A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利 15%； 项目 B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利 25%，最大投资额为 4 万元； 项目 C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利 40%，最大投资额为 3 万元； 项目 D：每年初投资，年末收回本金且获利 6%； 问如何确定投资策略使第五年末本息总额达最大？ 分析： 分析： 先考虑只能投资一次的项目 C，项目 A 连续投资两次，其利润为 32.25%，项目 D 连续投资 4 次其利 润为 26.25%，明显项目 C 的利润要高，所以第二年首先选择项目 C 的 3 万元。 再考虑只能投资一次的项目 B，可以由项目 A 和项目 D 组合而成，而其利润为 21.90%，所以第三年首 先投资 4 万元到项目 B。
Bond1=x(1); Bond2=x(2); Bond3=x(3); Returnexpectation=-fmin 结果为： 结果为： x = 0.0000 15.0000 3.0000 fmin =-78.0000 Returnexpectation =78.0000
应用实验
2. 两种面包产品的产量配比问题
田园食品公司生产的面包很出名。他们生产两种面包：一种是叫“唐师”的白面包，另一种是叫“宋 赐”的大黑面包。每个唐师面包的利润是 0.05 元，宋赐面包是 0.08 元。两种面包的月生产成本是固定 的 4000 元，不管生产多少面包。 该公司的面包生产厂分为两个部：分别是烤制和调配。 烤制部有 10 座大烤炉，每座烤炉的容量是每天出 140 台，每台可容纳 10 个唐师面包或 5 个更大的宋 赐面包。可以在一台上同时放两种面包，只需注意宋赐面包所占的空间是唐师面包的两倍。 调配部每天可以调配最多 8000 个唐师面包和 5000 个宋赐面包。有两个自动调配器分别用于两种面包 的调配而不至于发生冲突。 田园公司决定找出这两种面包产品的最佳产量配比，即确定两种面包的日产量，使得在公司面包厂的 现有生产条件下利润最高。 作出假设： 作出假设： TS：为唐师面包的日产量（个/日） SC：为宋赐面包的日产量（个/日） 建立模型： 建立模型： 根据题目，面包的日产量可以归结为以下的最优化模型: 目标函数： fmax=0.05TS+0.08SC-4000/30 约束条件： 0.1TS+0.2SC ≤ 1400 0 ≤ TS ≤ 8000 0 ≤ SC ≤ 5000 编程： 用 MATLAB 编程： c=[-0.05;-0.08] A=[0.1 0.2] b=[1400] xL=[0;0] xU=[8000;5000] [x,fmin]=LINPROG(c,A,b,[],[],xL,xU) Bond1=x(1); Bond2=x(2); Fmax=-fmin 结果如下： 结果如下：
基础实验
1．求解下述线性规划问题
min s.t.
− 5 x1 − 4 x2 − 6 x3 x1 − x2 + x3 ≤ 20
3x1 + 2x 2 + 4x 3 ≤ 42 3x1 + 2x 2 ≤ 30
0 ≤ x1, 0 ≤ x 2 , 0 ≤ x 3
编程如下： 用 matlab 编程如下： c=[-5;-4;-6] A=[1 -1 1;3 2 4;3 2 0] b=[20;42;30] xL=zeros(3,1) [x fmin]=LINPROG(c,A,b,[],[],xL)
max z =
∑ (pi x i i
=1
+ qi y i )
s.t. 航班 AC 上的销售机票总数为 3 个航线 AC、AD、AE 的销售机票数之和，不准超过班机容量 100，故有
x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 ≤ 100
航班 BC 上的销售机票总数为 3 个航线 BC、BD、BE 的销售机票数之和，不准超过班机容量 115，故有
表1 第一段的运输单价 To From Toronto Detroit Chicago $4 $ 5 表2 Buffalo $ 7 $ 7 第二段的运输单价 Supply 600 500
To From Chicago Buffalo Demand New York $3 $ 1 450 Phila. $ 2 $ 3 350 St.louis $ 2 $ 4 300
x =8000 3000 fmin =-640.0000 Fmax =640.0000 所以唐师面包的日产量 8000 个/日，宋赐面包的日产量,5000 个/日时，利润最大为 640-400/3=506.67 元。
3. 航空公司的机舱设计及机票销售
在五个城市 A、B、C、D、E 之间，有唯一一家航空公司提供四个航班服务，这四个航班的“出发地— 目的地”分别为 AC、BC、CD、CE，可搭载旅客的最大数量分别为 100 人、115 人、120 人、110 人，机票 的价格分头等舱和经济舱两类。经过市场调查，公司销售部得到了每天旅客的相关信息，见下表。该公 司应该在每条航线上分别分配多少张头等舱和经济舱的机票？ 出发地-目的地 AC AD(经 C 转机) AE(经 C 转机) BC BD(经 C 转机) BE(经 C 转机) CD CE 头等舱 需求（人） 31 22 10 25 20 8 34 13 价格（元） 190 244 261 170 260 280 140 186 52 41 60 33 31 41 59 15 经济舱 需求（人） 价格（元） 90 193 199 110 150 165 80 103
开课学院、实验室： 开课学院、实验室：数理学院 DS1401
课程 数学实验 名称 指导 李东 教师 实验项目 名 成 称 绩
实验时间 ：2011 年 5 月 2 日
实验项目类型
验证 演示 综合 设计 其他
线性规划模型、 线性规划模型、求解及灵 敏度分析
实验目的
学习最优化技术和基本原理，了解最优化问题的分类； 掌握线性规划的建模技巧和求解方法； 学习灵敏度分析问题的思维方法； 熟悉 MATLAB 软件求解线性规划模型的基本命令； 通过范例学习，熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。 通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优化 模型，并且使学生学会使用 MATLAB 软件进行线性规划模型求解的基本命令，并进行灵敏度分析。解决现 实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程，因此，本实验对学生的学习尤为重要。 [1] [2] [3] [4] [5]
x 6 + x 7 + x 8 + y 6 + y 7 + y 8 ≤ 115
在另外两个航班 CD、CE 上，有同样的容量限制，故有
x 2 + x 4 + x 7 + y 2 + y 4 + y 7 ≤ 120 , x 3 + x 5 + x 8 + y 3 + y 5 + y 8 ≤ 110 ;
每条航线上有需求量的限制，故有 所以 s.t.
建立模型： 建立模型： 。 Xij 为 i 地到 j 地运输的货物量（0 ≤ xij） s.t.： x13+x14=600 x23+x24=500 -x13- x23+x35+x36+x37 =0 -x14- x24+x45+x46+x47 =0 x35+ x45=450 x36+ x46=350 x37+ x47=300 目标函数： Min=4x13+7x14+7 x23+5x24+ 3x35+2x36+x37+ x45+3x46+4x47 编程如下： 用 matlab 编程如下： c=[4;7;7;5;3;2;1;1;3;4] xL=zeros(10,1) Aeq=[1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 1 1 0 0 0 0 0 0;-1 -1 0 0 1 1 1 0 0 0;0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1;0 0 0 0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 0 1 0 0 1 0;0 0 0 0 0 0 1 0 0 1] seq=[600;500;0;0;450;350;300] [x,fmin]=LINPROG(c,[],[],Aeq,seq,xL) 结果如下： 结果如下： x =600.0000 0.0000 0.0000 500.0000 0.0000 300.0000 300.000 450.0000 50.0000 0.0000 fmin = 6400 运输方案如下： 运输方案如下： Toronto 的 600 全运到 Chicago，Detroit 的 500 全运到 Buffalo，Chicago600 中的 300 运到 Phila，剩下的运到
目标函数为：
max z =
编程： 用 matlab 编程： c=[-190;-244;-261;-140;-186;-170;-260;-280;-90;-193;-199;-80;-103;-110;-150;-165] A=[1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1;0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0; 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1] b=[100;115;120;110] xL=zeros(16,1) xU=[31;22;10;34;13;25;20;8;52;41;60;59;15;33;31;41] [x,fmin]=LINPROG(c,A,b,[],[],xL,xU) fmax=-fmin 运行结果如下： 运行结果如下： x =31.0000 22.0000 10.0000 34.0000 13.0000 25.0000 20.000 8.0000 0.0000 2.0000 35.0000 42.0000 15.0000 33.0000 0.0000 29.0000 fmin = -5.3407e+004 fmax = 5.3407e+004 方案如下： 方案如下： AC、AD、AE、CD、CE、BC、CD、CE 上经济舱票数分别为：31 22 10 34 13 25 20 8；AC、AD、 AE、CD、CE、BC、CD、CE 上豪华舱票数分别为：0 2 35 42 15 33 0 29；最大收入为 53407 元。