第一套：满分120 分2020-2021 年广东实验中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共 6 小题，满分42分）1. （ 7 分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距 180千米，货车的速度为 60千米/ 小时，小汽车的速度为 90千米/ 小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是【】D.2. （7 分）在平面直角坐标系中，任意两点 A x1,y1 ，B x2,y2规定运算：① A B x1 x2,y1 y2 ；② A B x1x2 y1 y2 ；③当x1= x2且y1= y2时，A=B.有下列四个命题：（1）若A（1，2），B（2，–1），则 A B 3, 1 ，A B 0；2）若 A B B C，则A=C；3）若 A B B C ，则A=C；4）对任意点A、B、C，均有 A B C A B C 成立 .其中正确命题的个数为（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个3．（7 分）如图，AB是半圆直径，半径 OC⊥AB于点 O，AD平分∠ CAB交弧 BC于点 D，连结 CD、OD，给出以下四个结论：① AC∥ OD；② CE=O；E③△ ODE∽△ ADO；④2CD2=CE? AB．正确结论序号是（）A．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④4.（ 7 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90o ，AC=BC=1，E、F 为线段AB上两动点，且∠ ECF=45°，过点E、F 分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：① AB 2 ；②当点E与点B重合时，MH 1；③AF BE EF ；④MG?MH= 1，22其中正确结论为（）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④5.（7 分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一环的是（）A. 4 ，2，1B. 2 ，1，4C. 1 ，4，26.（7 分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙ O相切于E 、．填空题（每小题 6 分，满分 30 分）7. （6分）将边长分别为 1、2、3、4⋯⋯19、20 的正方形置于直 角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有 阴影部分的面积之和为 .8. （6 分）如图，三个半圆依次相外切，它们 的圆心都在 x 轴上，并与直线 个半圆的半径依次为 r 1、r 2、 r 3＝9. （6 分）如图，将一块直角三角板 OAB 放在平面直角坐标系中，B （ 2， 0），∠ AOB=6°0 ，点 A 在第一象限，过点 A 的双曲 线为 y k．在x 轴上取一点 P ，过点 P 作直线 OA 的垂线 l ， x以直线 l 为对称轴，线段 OB 经轴对称变换后的像是 O ′B（1）当点 O ′与点 A 重合时，点 P 的坐标是 ； （2）设 P （t ，0），当 O ′B ′与双曲线有交点时， t 的取值范围 是．D14C910. （6 分）如图，正方形 A 1B 1P 1P 2的顶点 P 1、P 2在反 比例函数 y 2（x 0） 的图象上，顶点 A 1、B 1分别在 x 轴、y x的正半轴上，再在其右侧作正方形 P 2P 3A 2B 2，顶点 P 3 在反比例函数y 2（x 0）的图象上，顶点 A 2在 x 轴的正半轴上，则点 P 3的 x坐标为 ．11. （6 分）如图，在⊙ O 中，直径 AB ⊥CD ，垂足为 E ，点 M在 OC 上，AM 的延长线交⊙ O 于点 G ，交过 C 的直线于 F ，∠1= ∠ 2，连结 CB 与 DG 交于点 N ．若点 M 是 CO 的中点，⊙ O 的半 径为 4，cos ∠BOC=1，则 BN= ．4三．解答题（每小题 12 分，满分 48 分）13. （ 12 分）如图，点 A （m ，m ＋1），函数 y k的图象上．x1）求 m ，k 的值；12. （12 分）先化简，再求值： 32x 10 5 x x22其中 x22212(tan45cos30 )0. B （m ＋3，m －1）都在反比例2）如果 M 为 x 轴上一点， N 为 y 轴上一点， 以点 A ，B ，M ，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线 MN 的函数表达式． （3）将线段 AB 沿直线 y kx b 进行对折得到线段 A 1B 1， y且点 A 1始终在直线 OA 上，当线段 A 1B 1与x 轴有交点时 , 则 b 的14. （12 分）如图，在 Rt △ABC 中，∠ ABC=90°，以 ⊙ O 交 AC 于点 D ， 1）连接 OC 交 DE 于点 F ，若 OF=C ，F 证明：四边形 OEC 边形；取值范围为 直接写出答案）ODE 是⊙ O 的切线，连接 DE ．2）若 CF=n ，求 tan ∠ACO 的值AB 为直径作15.（12 分）如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为 C（1， 4），交 x 轴于 A、B两点，交 y 轴于点 D，其中点 B的坐标为（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，过点 A的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中点 E 的横坐标为 2，若直线 PQ为抛物线的对称轴，点 G为直线 PQ上的一动点，则 x 轴上师范存在一点H，使 D、G、H、F 四点所围成的四边形周长最小。

若存在，求出这个最小值及点G、H 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图 3，在抛物线上是否存在一点 T，过点 T作 x 轴的垂线，垂足为点 M，过点 M作 MN∥BD，交线段 AD于点 N，连接MD，使△ DNM∽△ BMD。

若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由x2020-2021 年广东实验中学初升高自主招生数学模拟卷答案解析第一套一、选择题1. 【考点】函数的图象．【分析】由题得：出发前都距离乙地 180 千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为 180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故 C符合题意，故选 C．2. 【考点】新定义和阅读理解型问题；点的坐标；命题与定理；反证法的应用 .【分析】根据新定义，对各选项逐一分析作出判断：（1）若A（1，2），B（2，– 1），则 . 命题正确 .（ 2）设C ，若，即，∴ . ∴A=C. 命题正确 .（2）用反证法，设A（1，2），B（2，–1），由（ 1）知，取C ，，即有，但A C. 命题错误 .（ 4）设C ，对任意点A、B、C，均有成立 . 命题正确 . 综上所述，正确命题为（1），（2）（4），共 3个.故选 C.3．解：∵ AB是半圆直径，∴AO=O，D∴∠ OAD∠= ADO，∵AD平分∠ CAB交弧 BC于点 D，∴∠ CAD=∠ DAO=1∠CAB，2∴∠ CAD=∠ ADO，∴AC∥OD，故①正确．由题意得，OD=R，AC= 2 R，∵OE： CE=O：D AC= 2，2∴OE≠CE，故②错误；∵∠ OED=∠ AOE+∠ OAE=90° +22.5 ° =112.5 °，∠ AOD=90° +45 =135°，∴∠ OED≠∠ AOD，∴△ ODE与△ ADO不相似，故③错误；∵AD平分∠ CAB交弧 BC于点 D，∴∠ CAD=1×45°=22.5°，∴∠ COD=4°5 ，2∵AB是半圆直径，∴OC=O，D∴∠ OCD∠= ODC=67.5°∵∠ CAD=∠ ADO=22.5°（已证），∴∠ CDE=∠ ODC﹣∠ ADO=67.5°﹣ 22.5 °=45°，∴△ CED∽△ CDO，CD=CECO CD∴ CD2=CO? CE=1 AB? CE，∴ 2CD2=CE? AB，故④正确．综上可得①④正确．故选： D．4.【考点】双动点问题；等腰直角三角形的判定和性质；矩形的性质；三角形中位线定理；全等、相似判定和性质；勾股定理；旋转的应用 . 【分析】①∵在△ ABC中，∠ ACB=90o ，AC=BC=1，∴ . 故结论①正确 .②如答图 1，当点E与点B重合时，点F 与点M重合，∴ MH是△ ABC的中位线 .∴.故结论②正确 .③如答图 2，将△ACF顺时针旋转 90°至△ BCN，连接EN，则.∵∠ ECF=45°，∴.∴ . ∴ ∵△ ABC是等腰直角三角形，∴△ AGF和△ BHE都是等腰直角三角形∴.∴根据勾股定理，得，即 .∴ . 故结论③错误 .④∵由题意知，四边形CHNG是矩形，∴ MG∥BC，MH∥CG.又∵ ，，∴ . ∴ . ∴∵. 故结论④正确 .综上所述，正确结论为①②④ . 故选 C.5.【考点】阅读理解型问题；分类思想的应用 .【分析】将各选项分别代入程序进行验证即可得出结论：A.∵，∴4，2，1 是该循环的数；B.∵ ，∴2，1，4 是该循环的数；C.∵，∴1，4，2 是该循环的数；D.∵，∴ 2，4， 1 不是该循环的数 .故选 D.6.【答案】 A.【考点】矩形的性质；切线的性质；正方形的判定和性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用【分析】如答图，连接，则根据矩形和切线的性质知，四边形都是正方形 . ∵ AB=4，∴ .∵ AD=5，∴.设GM=NM，=x则.在中，由勾股定理得：，即，解得， . ∴ ．故选 A.二、填空题7.【答案】 210。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】由图可知：第一个阴影部分的面积 =22－12，第二个阴影部分的面积 =42－32，第三个图形的面积 =62－52由此类推，第十个阴影部分的面积 =202—192，因此，图中阴影部分的面积为：（22－1）＋（ 42－32）＋⋯＋（ 202－192）=（ 2＋ 1）（2－ 1）＋（ 4＋3）（4－3）+⋯+（20＋19）（20－19）=1＋2＋3＋4＋⋯＋ 19＋20=210。

8.【答案】 9。

【考点】一次函数的图象，直线与圆相切的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

分析】设直线y 33x 与三个半圆分别切于 A ，B ，C ，作 AE ⊥ x 轴于 E ，则在 Rt? AEO 1中，易得∠ AOE=∠EAO 1=300， 由 r 1＝1得 EO=1，AE=13 ，OE=3，OO 1=2。