V S
耗散率 = 流入系统的 流 -流出系统的 流
Gin - Gout = G
17
3.导热过程的 耗散极值原理 与最小热阻原理
18
传热与 耗散之间的关系
稳态、没有内热源时
q TdV qT ndS
V S
通过边界进入系
系统的 耗散率 = 流入系统的 流 -流出系统的 流
V
31
导热优化-体点问题
要求
Minimum
k T 2 dV
Vห้องสมุดไป่ตู้
qs
约束
kdV const.
V
导率分布
32
导热优化-体点问题
目标：在给定的约束条件下寻求 散率最小 构造给定约束条件下的Lagrange函数
2 k T k dV V
第三章
的基础理论及 在导热优化中的应用
梁新刚 清华大学航天航空学院 2013.10.24重庆
1
Content
1. (entransy)的定义及其物理意义 2. 导热过程的 平衡方程 3. 导热过程 耗散极值原理与最小热阻原理 4. 理论在导热优化中的应用 5. 耗散优化与熵产最小优化的对比 6. 小 结

2
/ G G / Q 2
热阻越小，热流越大!
27
4.
理论在导热优化中的应用
28
导热优化-体点问题
稳态体(面)-点导热问题
区域内有均匀内热源 q s 边界上仅有一个等温出口T0
qs
给定有限的 热导率
kdV const.
V
如何优化热导率分布使得区 域内的平均温度最低?
29
S
= 通过边界进入系统的净 流
+ 内部热源产生的净 流
耗散速率
q TdV
s V
G kT 2dV
V
16
• 稳态、没有内热源时
0
0
G dV q TdV qT ndS qsTdV t V V S V
or 系统的
q TdV qT ndS
-
的变化
G k T 2 dV
V
q k T
15
g dV q TdV qT ndS qsTdV t V V S V
对于体积不变的控制体
系统内部的
g 变化速率 t dV V
qT ndS
19
传热与 耗散之间的关系
如果给定边界热流
S
• Steady state without heat source
qT ndS q TdV
2 Q0 T q0TdA k T dV Sq V

V
边界热流份额加权平均温差
给定边界温度工况下 高导热材料布置结果
填充率增加时热阻及辐射器性能的变化
程雪涛, 徐向华, 梁新刚. 空间辐射器的等温化设计. 工程热物理学报, 2010, 31 (6):1031-1033.
5. 耗散（热阻）优化 与熵产最小优化的对比
40
熵
可逆循环

Q
T
0
熵 dS
Q
T
2
从状态1到 2的熵变
S S 2 S1 Sg 0
Q
T
1
0 S 熵产 g 0 0
irreversible process reversible process impossible process
41
导热的熵平衡方程
导热的能量守恒方程/温度
1 T 1 cv q Q T t T
qs
该函数应当有极值
2 k T k dV 0 V
33
导热优化-体点问题
泛函对热导率求偏导变分可得
qs
T
2
const.
分配热导率的原则
如何使用这一原则?
34
导热优化-体点问题
如何使用
T const.
qs
(1) 体积内先填满基材; (2) 求解能量方程确定温度梯度最大的位置; (3)温度梯度最大的位置采用高热导率材料； (4) 返回步骤(2)直到给定的高热导率材料用完。
导热优化-体点问题
q TdV qT ndS q TdV 0
s V S V
2 k T dV V
VqsT0 QT0
qs TdV VqsTav QTav
V
k T 2 dV Q(Tav T0 )
2 Q0 T q0TdA k T dV Sq V

最小 耗散率最小传热温差
21
传热与 耗散之间的关系
给定边界温度
• Steady state without heat source
TQ T 0 q n dA k T



1 T cv s T t
1 T 1 q qs cv q T t T T T
(T )2 sg k T2
边界熵流
热源熵流
熵变速率
熵产速率
42
导热的熵平衡方程
积分熵平衡方程，稳态、无内热源
q S g sg dV ndA T V A
V
Q 是区域内的总发热量，给定。
qs
30
导热优化-体点问题
qs
k T 2 dV Q(Tav T0 )
V
Entransy dissipation in V
Net entransy flow into V
如何分配高热导率材料使 得区域内的平均温度最低?
kdV const.
的变化、
耗散
热流Q从温度恒定为Th的物体传递给一个温度恒定为Tl的 物体时 离开高温物体 的 流为 流入低温物体 的 流为 耗散率为
G fh QTh
G fl QTl
过 程 量
G Q (Th Tl )
11
2.导热过程
12
能量守恒方程
两边乘以温度 T
( cvT ) q qs t
Qh = McvT=U（内能） cv = Qh / T 热量势能？
4
电容的电荷势能
Ee= QePe /2
1 G UT / 2 McvT 2 2
内能 质量
物体内能（热量） “势能”
Entransy
Z Y Guo et al, Entransy–A physical quantity describing heat transfer ability, Int. J. Heat Mass Transfer, 2007, 50 : 2545–2556.
T2

x维系统的等效热热阻！
绝热
24
热阻

定义热阻
R T
热流份额加权 平均温差

2
/ G G / Q
2
冷热源之间的总 换热热流
(Qout ) j (Qin )i T Ti Tj Qh Qh i j
25
T R Q
k T 2 dV
1 1 G UT McvT 2 2 2
7
字的(entransy)的由来
G = UT/2 热量传递势容 Clausius coined en-tropy for S = Q/T. It posses the nature of energy and transformation ability en --- prefix of energy; tropy --- root of transformation En-transy was coined for G = UT/2. It posses both the nature of energy and transfer ability. en --- prefix of energy; transy-- root of transport ：热量x温度； 熵：热量/温度
T

Sqin
qin Tin dA Q0

Sqout
qout Tout dA Q0
Q0：高低温边界之 间的总热流
20
qin: 进入边界 Sqin 的热流密度
qout: 流出边界Sqout的 热流密度
传热与 耗散之间的关系
给定边界热流
• Steady state without heat source
T0＝Const
Q
kh / k0 300
Q
37
导热优化-体点问题
• 讲义中的例子：
1. 体-双点问题：热导率连续分布
2.
优化理论在平板太阳能集热器传热性能
优化中的应用—优化的是集热板的厚度。
38
导热优化—辐射器热管分布
将辐射处理为含内热源的导热问题：
(k T ) T 4 T04 / d 0
5
entransy
A
1 1 2 G UT McvT 状态量 2 2
• 物体内能“势能”;
• 一段时间内释放热量的能力；
水桶中水 的势能
1 A H 2 2
H
• 最大的热量释放能力：½UT.
6
• 石锅拌饭、铁板烧、 冰块维持低温、海 洋对气候的影响等
温度 热容
• 两者同时重要，缺 一不可.
V
Q
2
G / Q T / G
2
2
给定边界等效温差 越大，
。
给定边界冷热源之间的总换热速率时 越小，边界冷热源之间的的等效温差越小，耗 散热阻越小。