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数学必修4综合测试题含答案

数学必修4综合测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1.下列命题中正确的是( )A .第一象限角必是锐角B .终边相同的角相等C .相等的角终边必相同D .不相等的角其终边必不相同 2.将分针拨慢5分钟,则分钟转过的弧度数是 ( )A .3π B .-3πC .6πD .-6π 3.已知角α的终边过点()m m P 34,-,()0≠m ,则ααcos sin 2+的值是( ) A .1或-1 B .52或52- C .1或52- D .-1或52 4、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)πα的取值围是( ) A.35(,)(,)244ππππ B.5(,)(,)424ππππ C.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)244ππππ5. 若|2|=a ,2||=b 且(b a -)⊥a ,则a 与b 的夹角是( )(A )6π(B )4π(C )3π(D )π125 6.已知函数B x A y ++=)sin(ϕϖ的一部分图象如右图所示,如果2||,0,0πϕϖ<>>A ,则( )A.4=AB.1=ϖC.6πϕ=D.4=B7. 设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==,,集合{}x y y x B ==|)(,,则( ) A .B A 中有3个元素 B .B A 中有1个元素 C .B A 中有2个元素 D .B A R = 8.已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π( )A .247B .247-C .724D .724-9. 同时具有以下性质:“①最小正周期是π;②图象关于直线x =3π对称;③在[-6π,3π]上是增函数”的一个函数是 ( )A . y =sin (2x +6π) B . y =cos (2x +3π) C . y =sin (2x -6π) D . y =cos (2x -6π)10. 设i =(1,0),j =(0,1),a =2i +3j ,b =k i -4j ,若a ⊥b ,则实数k 的值为( ) A .-6B .-3C .3D .6 11. 函数)34cos(3)34sin(3x x y -+-=ππ的最小正周期为 ( )A .32πB .3πC .8D .412. 2002年8月,在召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于( )A .1B .2524-C .257D .-257题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13. 已知3322cos2sin=+θθ,那么θsin 的值为,θ2cos 的值为 14. 已知|a |=3,|b |=5,且向量a 在向量b 方向上的投影为125,则a ·b =. 15. 已知向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点(O 为坐标原点),那么XB XA ⋅的最小值是___________________ 16.给出下列6种图像变换方法:①图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的21;②图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;③图像向右平移3π个单位;④图像向左平移3π个单位;⑤图像向右平移32π个单位;⑥图像向左平移32π个单位。

请写出用上述变换将函数y = sinx 的图像变换到函数y = sin(2x +3π)的图像的一个变换______________.(按变换顺序写上序号即可) 三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应有证明或演算步骤)17、已知cos(α-2β)=19-,sin(2αβ-)=23,且α∈(2π,π),β∈(0,2π),求cos 2αβ+的值.18. (本小题满分12分) 已知434π<α<π,40π<β<,53)4cos(-=+απ,135)43sin(=β+π,求()βα+sin 的值.19. (本题满分12分)已知向量)23sin 23(cosx x ,=a ,)2sin 2(cos xx -=,b ,)13(-=,c ,其中R ∈x . (Ⅰ)当b a ⊥时,求x 值的集合; (Ⅱ)求||c a -的最大值.20、已知函数.,12sin sin 2)(2R x x x x f ∈-+=(1)求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合; (2)在平面直角坐标系中画出函数)(x f 在],0[π上的图象.21、(本题满分12分)设a 、b 是两个不共线的非零向量(R t ∈)(1)记),(31,,b a OC b t OB a OA +===那么当实数t 为何值时,A 、B 、C 三点共线? (2)若 1201||||夹角为与且b a b a ==,那么实数x 为何值时||b x a -的值最小? 22、(本题满分14分)某沿海城市附近海面有一台风,据观测,台风中心位于城市正南方向200km的海面P 处,并正以20km/h 的速度向北偏西θ方向移动(其中19cos 20θ=),台风当前影响半径为10km ,并以10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风影响?影响时间多长?数学必修4综合测试题参考答案1. C2. D3.B 4、B 5、B 6、C 7、A8、D 9、C . 10、D11、A12、D 13、31,9714、12 15.-8 16. ④②或②⑥ 17、已知cos(α-2β)=19-,sin(2αβ-)=23,且α∈(2π,π),β∈(0,2π),求cos 2αβ+的值. 18. 解:∵434π<α<π ∴π<α+π<π42又53)4cos(-=α+π∴54)4sin(=α+π∵40π<β<∴π<β+π<π4343又135)43sin(=β+π∴1312)43cos(-=β+π∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] = )]43()4sin[(β+π+α+π-)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-= 19解:(Ⅰ)由b a ⊥,得0=⋅b a ,即02sin 23sin 2cos 23cos =-xx x x .…………4分则02cos =x ,得)(4π2πZ ∈+=k k x .…………………………………5分∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,4π2π|为所求.…………………………………6分 (Ⅱ)+-=-22)323(cos||x c a =+2)123(sin x )3π23sin(45-+x ,……………10分 所以||c a -有最大值为3.……………………………………………………12分 20解:(I )x x x x x x x f 2cos 2sin )sin 21(2sin 12sin sin 2)(22-=--=-+==)42sin(2π-x ………………………………………………5分所以)(x f 的最小正周期是π……………………………………………………6分∈x R ,所以当∈+=+=-k k x k x (83,2242πππππ即Z )时,)(x f 的最大值为2.即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+=k k x x ,83|{ππZ }……………………8分(II )图象如下图所示:(阅卷时注意以下3点)1.最小值2)83(=πf , 最小值2)87(-=πf .………………10分2.增区间];,87[],83,0[πππ减区间]87,83[ππ……………………12分3.图象上的特殊点:(0,-1),(1,4π),(1,2π),)1,(),1,43(--ππ………14分[注:图象上的特殊点错两个扣1分,最多扣2分]21、解:(1)A 、B 、C 三点共线知存在实数OB OA OC )1(,λλλ-+=使 即b t a b a )1()(31λλ-+=+,…………………………………………………4分则21,31==t 实数λ………………………………………………………………6分(2),21120cos ||||-=⋅=⋅b a b a,12||22222++=⋅⋅-⋅+=-∴x x b a x b x a b x a ……………………………9分当23||,21取最小值时b x a x --=…………………………………………12分 22、解:如右图,设该市为A ,经过t 小时后台风开始影响该城市,则t 小时后台风经过的路程PC =(20t )km ,台风半径为CD =(10+10t )km ,需满足条件:CD ≥AC2222222()2||||||2||||cos AC PC PA PC PA PA PC AC PC PA PA PC θ=-=+-=+-22219200(20)22002040000400760020t tt =+-=+- ∴222400004007600(1010)t t CD t +-≤=+ 整理得23007800399000t t -+≤ 即2261330t t -+≤ 解得719t ≤≤θ20020t10+10t10北AP C D E∴7小时后台风开始影响该市,持续时间达12小时。

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