第二章综合能力检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．下列命题中正确的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a ·b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a |D ．若a ⊥b ，则a ·b ＝(a ·b )2 答案：D解析：若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a |或－|a |，平行时分夹角为0°和180°两种情况；a ⊥b ⇒a ·b ＝0，(a ·b )2＝0.2．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( ) A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、D 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线答案：B解析：由题意，知AB →＝BC →＋CD →＝BD →，所以A 、B 、D 三点共线． 3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)答案：B解析：在平行四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴BD →＝(AC →－AB →)－AB → ＝(1,3)－2(2,4)＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)．4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案：B解析：a ＝(2,0)，∴|a |＝2. |a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×1＝12， ∴|a ＋2b |＝2 3.5．[2011·广东卷]若向量a 、b 、c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A. 4B. 3C. 2D. 0 答案：D解析：由a ∥b 且a ⊥c ， 得b ⊥c ，所以a ·c ＝0，b ·c ＝0. 所以，c ·(a ＋2b )＝a ·c ＋2b ·c ＝0.6．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(－1，－3)，则OA →和OB →的夹角为( )A.π4B.5π12C.π3D.π12答案：A解析：由题意，得OA →＝OC →＋CA →＝(1，－1)， 则|OA →|＝2，|OB →|＝2，OA →·OB →＝2， ∴cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝22.又0≤〈OA →，OB →〉≤π，∴〈OA →，OB →〉＝π4.故选A.7．已知平面向量a 、b 、c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a 、b 、c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A. 3 B ．6或 2 C ．6 D ．6或 3答案：D解析：由题意，得a 、b 、c 两两所成的角均为120°或0°，当夹角为120°时，a ·b ＝－1，b ·c ＝－3，a ·c ＝－32，则|a ＋b ＋c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋a ·c )＝3；当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝6.故选D.8．已知命题：“若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0”是真命题，则下面对a 、b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b 中至少有一个为0 答案：B解析：根据平行四边形法则及向量共线的条件可知，a 与b 一定不共线．9．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49 B ．－43 C.43 D.49答案：A解析：由题意可知，P 是△ABC 的重心， ∴P A →＋PB →＋PC →＝0， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝－P A →2 ＝－(23MA →)2＝－49.10．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( ) A ．(12，32)或(1，3) B ．(32，12) C ．(0,1) D ．(0,1)或(32，12) 答案：D解析：设单位向量为e ＝(x ，y )，则cos30°＝x ＋3y 2＝32，x 2＋y 2＝1，验证即得D.11．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a②(a *b )*b ＝a *(b *b ) ③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b ) ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案：B解析：可结合向量的运算性质加以验证知③④正确．12．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 点为坐标原点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 答案：D解析：设P (x ，y )，则Q (－x ，y )．设A (x A,0)，x A >0，B (0，y B )，y B >0，BP →＝(x ，y －y B )，P A →＝(x A －x ，－y )．∵BP →＝2P A →，∴x ＝2(x A －x )，y －y B ＝－2y ， ∴x A ＝32x ，y B ＝3y (x >0，y >0)．又∵OQ →·AB →＝1，(－x ，y )·(－x A ，y B )＝1， ∴(－x ，y )·(－32x,3y )＝1， 即32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．已知向量a ＝(4，－3)，b ＝(x,2)，且a ∥b ，则x ＝________. 答案：－83解析：由题意，得4×2＋3x ＝0，得x ＝－83.14．[2011·重庆卷]已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝________.答案： 3解析：|2e 1－e 2|＝(2e 1－e 2)2＝4e 21＋e 22－4e 1e 2＝4＋1－4×1×1 cos 60° ＝ 3.15．设向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,2)，向量OC →⊥OB →，且向量BC →∥OA →，当OD →＋OA →＝OC →时，OD →的坐标是______．答案：(11,6)解析：设OD →＝(x ，y )，则由OD →＋OA →＝OC →，可得OC →＝(3＋x ，y ＋1)，所以BC →＝OC →－OB →＝(4＋x ，y －1)，因为OC →⊥OB →及BC →∥OA →，可得⎩⎪⎨⎪⎧(3＋x )·(－1)＋(y ＋1)·2＝0(4＋x )－3(y －1)＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝6.16．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为____．答案：2x －3y －9＝0解析：设B (x ，y )为直线l 上的任意一点，则l 的方向向量为AB →＝(x －3，y ＋1)．又a ＋2b ＝(－2,3)，直线l 与向量a ＋2b 垂直，所以(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，展开化简得2x －3y －9＝0.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝3，|b |＝4，且(2a －b )·(a ＋2b )≤4，求a 与b 的夹角θ的范围．解：由条件(2a －b )·(a ＋2b )≤4，可以得含cos θ的不等关系式． ∵(2a －b )·(a ＋2b )≤4，即2×32－2×42＋3a·b ≤4， ∴a ·b ≤6，即|a ||b |cos θ＝3×4cos θ≤6. ∴－1≤cos θ≤12，∴π3≤θ≤π.18．(本小题满分12分)等腰△ABC 中，BD 和CE 是两腰上的中线，且BD ⊥CE ，求顶角A 的余弦值．解：建立如图所示的直角坐标系，设A (0，a )，C (c,0)，则B (－c,0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c,0)，BC →＝(2c,0)．因为BD 和CE 分别为AC ，AB 的中线，所以BD →＝12(BC →＋BA →)＝(3c 2，a2)，同理CE →＝(－3c 2，a 2)，又BD →⊥CE →，故BD →·CE →＝0，即－94c 2＋a 24＝0，故a 2＝9c 2.所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.19．(本小题满分12分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，求m 的值及a 与c 夹角的余弦值．解：由c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，可得c ·d ＝(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2－3a ·b ＋5m a ·b －5b 2.因为|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝3×2×cos60°＝3，所以c ·d ＝27m －3×3＋15m －20＝0，即42m ＝29，所以m ＝2942.因为a ·c ＝a ·(3a ＋5b )＝3a 2＋5a ·b ＝3×9＋5×3＝42.|a |＝|3a ＋5b |＝(3a ＋5b )2＝9a 2＋30a ·b ＋b 2×25＝9×9＋30×3＋4×25＝271，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝423×271＝14271271. 20．(本小题满分12分)(1)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 的夹角；(2)设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12，∴θ＝120°.(2)设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，∴45λ2－48λ＋11＝0，解得：λ＝13或λ＝1115，∴OM →＝(2,1)或OM →＝(225，115)．∴存在M (2,1)或M (225，115)满足题意．21．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(1,5)，OB →＝(7,1)，OM →＝(1,2)，P 是直线OM 上的一个动点，当P A →·PB →取最小值时，求OP →的坐标，并求出cos ∠APB 的值．解：设OP →＝t ·OM →＝(t,2t )(t ≠0)，所以P A →＝OA →－OP →＝(1－t,5－2t )，PB →＝OB →－OP →＝(7－t,1－2t )，所以P A →·PB →＝(1－t,5－2t )·(7－t,1－2t )＝(1－t )·(7－t )＋(5－2t )·(1－2t )＝5t 2－20t ＋12.令f (t )＝5t 2－20t ＋12，则f (t )＝5(t －2)2－8，所以当t ＝2时，f (t )的最小值为－8，此时OP →＝(2,4)，P A →·PB →＝－8，|P A →|＝2，|PB →|＝34， 所以cos ∠APB ＝P A →·PB →|P A →|·|PB →|＝－82·34＝－41717.22．(本小题满分12分)用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到的重力为G ，两绳受到的拉力分别为F 1，F 2，夹角为θ，如图．(1)求其中一根绳受的拉力|F 1|与|G |的关系式，用数学观点分析|F 1|的大小与夹角θ的关系；(2)求|F 1|的最小值；(3)如果每根绳的最大承受拉力为|G |，求θ的取值范围． 解：(1)由力的平衡得F 1＋F 2＋G ＝0， 设F 1，F 2的合力为F ，则F ＝－G ， ∴F 1＋F 2＝F 且|F 1|＝|F 2|，|F |＝|G |，解直角三角形得cos θ2＝12|F ||F 1|＝|G |2|F 1|， ∴|F 1|＝|G |2cos θ2，θ∈[0°，180°]． 由于函数y ＝cos x 在x ∈[0°，180°]上为减函数，∴θ逐渐增大时，cos θ2逐渐减小，|G |2cos θ2逐渐增大，∴θ增大时，|F 1|也增大．(2)由上述可知，当θ＝0°时，|F 1|有最小值为|G |2.(3)依题意，|G |2≤|F 1|<|G |，∴12≤12cos θ2<1，即12<cos θ2≤1.∵y ＝cos x 在[0°，180°]上为减函数，∴0°≤θ2<60°，∴θ∈[0°，120°)．。