第11章《流体力学》习题解答11.2.1 若被测容器A 内水的压强比大气压大很多时，可用图中的水银压强计。

⑴此压强计的优点是什么？⑵如何读出压强？设 h 1=50cm,h 2=45cm,h 3=60cm,h 4=30cm ，求容器内的压强是多少大气压？【解】⑴优点：可以测很高的压强，而压强计的高度不用很大⑵设界面处压强由右向左分别为p 0, p 1,p 2,p 3，水和水银的密度分别用ρ,ρ'表示，据压强公式，有：43323221101,',,'gh p p gh p p gh p p gh p p A ρρρρ=-=-=-=- 0312401234123423434)(')(''''p h h g h h g p gh gh gh gh p gh gh gh p gh gh p gh p A +++-=++-+=+-+=++=+=∴ρρρρρρρρρρρρ用大气压表示：atm h h h h p A 43.2766050766.134530176766.1313124≈++⨯-+=++⨯-+=11.2.2 A,B 两容器内的压强都很大，现欲测它们之间的压强差，可用图中装置，Δh=50cm ，求A,B 内的压强差是多少厘米水银柱高？这个压强计的优点是什么？【解】由压强公式：11gh p p A ρ=-)(,'2221h h g p p h g p p B +∆=-∆=-ρρhg h g h h h g p p h g gh p gh p p p B A ∆-∆=∆--+-∆++-+=-ρρρρρρ')()()()(21212211用厘米水银柱高表示：cmHg h h p p B A 3.466.13/50506.13/=-=∆-∆=-也可以忽略管中水的重量，近似认为压强差为50cmHg 优点：车高雅差方便，压强计的高度不需太大。

11.2.3 游泳池长50m ，宽25m ，设各处水深相等且等于1.50m ，求游泳池各侧壁上的总压力，不考虑大气压。

【解】设游泳池长a=50m ，宽b=25m ，水深c=1.50m 。

如图所示. 1) 先计算ABCD 、OEFG 壁的压力.在z 深处，游泳池侧壁取高为dz 的面元，其面积为d d s a z =. ∵z 深处压强,o p p gz ρ=+ 不计大气压，p gz ρ= ∴此面元所受压力：1d d F gaz z ρ=,1.52101551250(N)2F gazdz gac ρρ===⎰ 2) 再计算BDFE 、OGCA 壁的压力： 同理，2d d F gbz z ρ=1.52201275625(N)2F gbzdz gbc ρρ===⎰ 书中的答案为：四壁总的压力6122()2(551250275625)1653750(N) 1.6510(N)F F F =+=⨯+==⨯，答案似乎欠妥。

11.2.4 所谓流体的真空度，指该流体内的压强与大气压的差数，水银真空计如图所示，设h=50cm ，问容器B 内的真空度是多少N/m 2？【解】24230/10664.610508.9106.13m N gh p p B ⨯=⨯⨯⨯⨯==--ρ11.2.5 ⑴海水的密度为ρ=1.03g/cm 3，求海平面以下300m 处的压强。

⑵求海平面以上10km 高处的压强。

解：⑴ap ghp p 63501013.33008.91003.110013.1⨯=⨯⨯⨯+⨯=+=ρ⑵km e p p p gy /117.0,000===-ραα ，所以，海平面以上10km 处的压强：a p e p 510117.0510314.010013.1⨯=⨯=⨯-11.2.6 ⑴盛有液体的容器以重力加速度自由下落，求液体内各点的压强；⑵若容器以竖直向上的加速度a 上升，求液体内压强随深度的分布；⑶若容器以竖直向下的加速度a （<g ）下落，求液体内压强随深度的分布。

【解】以容器为参考系，设它相对地的加速度为a 0. 在水深h 处取一体元，上、下底面积为ds ，高为dh ，质量dm =ρdsdh .受力情况如图所示，其中，dma 0为惯性力.规定向上为正，由力的平衡方程，有0()()0,p dp ds pds dm g a +--+= 0()dp g a dh ρ∴=+h a g p p dh a g dp hpp )(,)(00000++=+=⎰⎰ρρ⑴容器自由下落，00,p p g a =∴-=⑵容器加速上升，h a g p p a a )(,00++=∴=ρ ⑶容器加速下降，h a g p p a a )(,00-+=∴-=ρ11.2.7 河床的一部分为长度等于b 半径为a 的四分之一柱面，柱面的上沿深度为h ，求水作用于柱面的总压力的大小、方向和在柱面上的作用点。

【解】取图示d θ对应的柱面，其面积为bad θ，所受压力θθρbad a h g p dF ]sin ([0++=方向如图示，取图示坐标o-xy,θθθρθθθρsin )]sin ([cos )]sin ([00bad a h g p dF bad a h g p dF y x ++=++=)(]02/|sin 02/|sin )[(]sin sin cos )[(21022102/02/00ga gh p ab ga gh p ab d ga d gh p ab F x ρρπθρπθρθθρθθρππ++=++=++=⎰⎰)(]02/|2sin 2/0|cos )[()2cos 1(sin )[(4041402/0212/00ga gh p ab ga ga gh p ab d ga d gh p ab F y ρρπθρρπθρθθρθθρππππ++=-++=-++=⎰⎰（在上面积分中，运用了三角函数公式：sin 2θ=(1-cos2θ)/2 ） 总压力大小：22y x F F F +=方向：总压力作用线过坐标原点，与柱面垂直，且与x 轴夹角gagh p ga gh p tgF F tgxy ρρρραπ2104011++++==-- 总压力作用点：总压力作用线与柱面的交点。

11.2.8 船的底舱处开一窗，可藉此观察鱼群，窗为长1m 半径R=0.6m 的四分之一圆柱面，水面距窗的上沿h=0.5m ，求水作用于窗面上的总压力的大小、方向和作用点。

【解】此题与11.2.7题解法相同， 由11.2.7题解答可知：102(),x F ab p gh ga ρρ=-++ 04()y F ab p gh ga πρρ=-++这里，b=1m,a =R=0.6m,h=0.5m ，代入数据：NF NF y x 4414.33543510649.6)]6.05.0(8.910110013.1[16.010548.6)]2/6.05.0(8.910110013.1[16.0⨯-=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯-=⨯-=+⨯⨯+⨯⨯⨯-='2645015.110332.9422︒===⨯=+=arctg arctgNF F F xy F F y x α11.2.9 一船质量为m ，使船发生一初始下沉，然后沿竖直方向振动，设船在吃水线附近的截面积为s ，海水比重为γ，证明船做简谐振动，并求周期.不计阻力。

【解】以地为参考系，选水面上一点为原点，建立图示坐标o-x.船静止时，浮力与重力大小相等，方向相反，合力为零。

当船发生一位移x 时，所受合力为 F = -γsx ，为线性恢复力。

由牛顿二定律： 0,2222=+-=x m sdtx d sx dtxd m γγ 所以船作简谐振动，s mms T γγπω2,0==11.2.10 根据新数据，布达拉宫的海拔高度为3756.5m ，试求该处的大气压强，为海平面大气压的几分之几？【解】a y p e e p p 57565.3117.05010653.010013.1⨯=⨯⨯==⨯--α%645510013.110653.0≈=⨯⨯p p11.4.1 容器内水的高度为H ，水自离自由表面h 深的小孔流出.⑴求水流达到地面的水平射程x ，⑵在水面以下多深的地方另开一孔可使水流的水平射程与前者相等？【解】⑴此问题可近似看作理想流体做稳定流动。

从水面至小孔取一流线，设水面流速为零，小孔流速为v ，由伯努利方程，有ghv v p gh p 2,22100=∴+=+ρρ 水在小孔处以速度v 作平抛运动，由平抛公式，有)2(2)1(221t gh vt x gth H ===-由⑴求得g h H t /)(2-=, 代入⑵中得)(2h H h x -= ⑵设在水面下h ’处开一小孔，与h 处小孔水平射程相等，即)()'(',)(2)'('2h H h h H h h H h h H h -=-∴-=-)')('(')'(22h h h h h h h h H -+=-=-，∵h H h h h -=∴≠','11.4.2 参阅11.4.1题图，水的深度为H.⑴在多深的地方开孔，可使水流具有最大的水平射程？⑵最大的水平射程等于多少？【解】⑴由11.4.1题解得，水平射程)(2h H h x -=，显然，x =x(h)，为求极大值点，令0)2()(22/1221=--⨯=-h H h Hh dhdx ，∴H h h H 21,02==-时水平射程最大。

⑵将h = H/2代入水平射程表达式得：H x =max11.4.3 关于流动流体的吸力的研究，若在管中细颈处开一小孔，用细管接入容器A 中液内，流动液体不但不漏出，而且A 中液体可以被吸上去。

为研究此原理，作如下计算：设左上方容器很大，流体流动时，液面无显著下降，液面与出液孔高差为h ，S 1,S 2表示管横截面，用ρ表示液体密度，液体为理想流体，试 【解】0)/1(212201<-=-S S gh p p ρ，即S 1处有一定的真空度，因此可将A 内液体吸入。

解：选图示流线，由伯努利方程，有22210212110v p v p gh p ρρρ+=+=+ 由连续性方程，有，2211v s v S = 可解得：gh v v gh v S S S S 2,21212212===)/1()(212221222101S S gh v v p p -=-=-ρρ 0)/1(,21220121<-=-∴<S S gh p p S S ρ11.4.4 容器A 和B 中装有同种液体，可视为理想流体，水平管横截面S D =2S C ，容器A 的横截面S A >>S B ，求E 管中的液柱高度（ρ液>>ρ空气）。