• 将重复单元（结构基元）用一个点来表示，且假 设这种结构可延伸至无穷远。该种结构可称之为 点阵 • 该重复单元就是结构基元；而点阵点是由重复单 位抽象出的几何学上的点。
平移对称性
Q
P
O
S R
T
点阵点
平面点阵
平移对称性
把一个阵点平移到任意一个其它的阵点，点 阵保持不变，或者说与原来完全重合 注意：
为什么正方形格子没有体心点阵？
现在我们用反证法来证明
if
它有
体心点阵
重新划分格子，可以 得到正方形简单格子
平面点阵
• 平面点阵具有平移对称性
– 把一个阵点平移到任意一个其它的阵点，点阵 保持不变，或者说与原来完全重合 – 换言之，所有阵点的化学环境都相同
• 平面点阵有5种 • 平面点阵的平移对称性对旋转对称性的制 约
七大晶系和十四种空间格子
七大晶系： 1.三斜晶系（triclinic system）：a≠b≠c，α≠β≠γ≠ 90° 2.单斜晶系（monoclinic system ）：a≠b≠c，α＝γ＝90°≠β 3.正交(斜方)晶系（orthogonal system ）：a≠b≠c，α＝β＝γ＝ 90° 4.四(正)方晶系（tetragonal system ）：a＝b ≠ c，α＝β＝γ＝90° 5.立方晶系（cubic system ）：a＝b＝c，α＝β＝γ＝90° 6.六方晶系（hexagonal system ）：a＝b ≠ c，α＝β＝90°，γ＝120° 7.菱形晶系（rhombohedral system）：a＝b＝c， α＝β＝γ≠90°
– 只能是1,2,3,4,6五种旋转轴
空间点阵类型

根据６个参数间相关系可将全部空间点阵归为七大类，十四 种（称为布拉菲点阵）。晶系和点阵类型如表中所示（十四 种空间格子）
晶体结构和空间点阵的区别： 空间点阵（ space lattice ）：质点排列的几何学抽象只有 １４种类型 晶体结构（ crystal structure ）：实际质点的排列是无限 的
•
•
• •
晶向指数还有如下规律：
（1）某一晶向指数代表一组在空间相互平行且方向一 致的所有晶向。 （2）若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相 反。 （3）有些晶向在空间位向不同，但晶向原子排列相同， 这些晶向可归为一个晶向族(crystal direction group) ， 用〈ｕｖｗ〉表示。如〈111〉晶向族包括[111]、[T11]、 [1T1]、[11T]、[TT1]、[1TT]、[T1T]、[TTT]；〈100〉 晶向族包括[100]、[010]、[001]、[T00]、[0T0]、 [00T] 。 （4） 同一晶向族中晶向上原子排列因对称关系而等同。 晶族(crystal group)
1：假设这个点阵延伸至无限远；
2：平移时其它阵点同时移动，这个移动的距离+ 移动方向，我们用平移矢量来表示
基矢
• 任选一个阵点O，然后找到离它最近的、不 在同一条线上的两个阵点(O1、O2)，矢量 OO1、OO2就是基矢。 • 某些情况下，为便于分析，不用基矢来表 达平移矢量，而是采用其他方式。
平面点阵
•
2.立方晶系中晶面指数
确定立方晶系(cubic crystal systems) 晶面指 数（ｈｋｌ）的步骤如下: a) 设坐标：原点设在待求晶面以外。 b) 求截距：求晶面在三个轴上的截距。 取倒数 （为什么？） d) 化整数：h、k、l e) 加括号：（hkl），如果所求晶面在晶轴上截 距为负数则在指数上加一负号。
6 体心正交点阵

a≠b≠c，α= β= γ = 90°
7 面心正交点阵

a≠b≠c，α= β= γ = 90°
8 简单六方点阵
a=b ≠ c，α=β=90°，γ =120°

9 简单菱方点阵
a=b=c，α=β=γ ≠ 90°

10 简单四方点阵
a=b ≠ c，α=β=γ =90°

11 体心四方点阵
平移对称性
Q a2 P
O a1
S
N
平面正当格子
正方形格子 a b a＝b a∧b=90° b a≠b 。 a∧b=90 矩形格子 a 矩形带心格子 a b a≠b 。 a∧b=90 平行四边形格子 a b
六方格子 a
b a=b 。 a∧b=120
对称性高
含点阵点少

a≠b 。 a∧b≠120
平面正当格子
分类
• 固体
– 晶体
• • • • 单晶 多晶 微晶 纳米晶
– 非晶体
• 准晶 • 非晶态 • 高分子
常见的晶体和非晶体
• 晶体 –无机盐类、 –少数高分子材料、 –金属及合金是晶体； –分子筛、复合氧化物 • 非晶体 –多数高分子材料 –玻璃 –结构复杂材料
周期性
• 1848年 布喇菲
– 点阵 – 格子
a=b ≠ c，α=β=γ =90°
12 简单立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
2.1.2
晶向指数和晶面指数
晶面（ crystal plane ） —— 晶体结构一系列原子所 构成的平面。 晶向（ crystal directions ） ——通过晶体中任意两 个原子中心连成直线来表示晶体结构的空间的各个 方向。 晶 向 指 数 (indices of directions) 和 晶 面 指 数 (indices of crystal － plane) 是分别表示晶向和 晶 面 的 符 号 ， 国 际 上 用 Ｍ iller 指 数 （ Ｍ iller indices ）来统一标定。

1.立方晶系中晶向指数
确定立方晶系(cubic crystal systems)晶向指数 ［ｕｖｗ]的步骤如下： (1) 设坐标 (2) 求坐标 (3) 化整数 (4) 列括号［ｕｖｗ］ 若晶向上一坐标值为 负值则在指数上加一负号。

立方晶系中阵点坐标
确定立方晶系中晶向指数示意图
立方晶系中一些常用的晶向指数
十四种空间格子(参考下面):
晶格常数示意图
1 简单三斜点阵
a≠b≠c α≠β≠ γ
2 底心单斜点阵
a≠b
≠c α=γ=90°≠β
3 简单单斜点阵
a≠b
≠c α=γ =90°≠β
4 简单正交点阵

a≠b≠c，α= β= γ = 90°
5 底心正交点阵

a≠b≠c，α= β= γ = 90°