17663圆周运动习题
及答案
圆周运动
学校______________ 班级____________
姓名______________ 学号____________
考号______________ ________________
一、计算题
1、（10分）已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，地球自转的角速度为ω。

证明：（1）第一宇宙速度为gR v =1；（2）同步卫星离地面的高度为h=R g R -322ω。

2、（10分）
从离地面高H 处以水平速度v 0抛出一石块A,又在地面上某处以足够大的初速 v 0′竖直向上抛出一石块B,问当符合什么条件时,两石块才能在空中相碰.
3、（10分）
宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t,小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G.求该星球的质量M.
4、（10分）（3）
如图所示，轻杆长2l ，中点装在水平轴O 点，两端分别固定着小球A 和B ，A 球质量为m ,B 球质量为2m ，两者一起在竖直平面内绕O 轴做圆周运动。

（1）
若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时O轴的受力大小和方向；
（2）若B球到最高点时的速度等于第（1）小题中A球到达最高点时的速度，
则B球运动到最高点时，O轴的受力大小和方向又如何？（3）在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，则
求出此时A、B球的速度大小。

5、（10分）（3）
一只半球壳半径为R, 截口水平, 现有一个物体A质量为m, 位于半球面内侧,随
同半球面一起绕对称轴转动, 如图所示.
(1) 若A与球面间摩擦系数为μ, 则物体A刚好能贴在截面口附近, 此时的角速度
多大?
(2) 若不考虑摩擦, 则当球以上述角速度转动时,物体A位于半球面内侧什么地方?
6、（10分）
一质量为m 、带电为-q 的质点沿一圆轨道绕一固定电荷运动, 这固定电荷的质量为M 、带电为+Q.
(1) 若质点只受库仑力作用, 证明质点到固定电荷的距离r 的立方与质点的运动周期T 的平方成正比.
(2) 若质点只受万有引力作用, 证明r 3∞T 2仍成立.
(3) 比较这两种情况有什么不同.
7、（10分）
氢原子中质子不动, 电子绕质子做匀速圆周运动的半径为r, 电子动量大小mv 与半径r 的乘积mvr 等于π
2h , h 为普朗克常量. 如果把电子换成μ子绕质子做匀速圆周运动, μ子带电量与电子相同、质量约为电子的210倍, μ子动量大小与半径的乘积也等于
π
2h , 求μ子的轨道半径'r =?
8、（10分）
一物体下降到距地面多深的地方，其重力加速度为地面上的25%？（设地球为质量均匀分布的球体，地球半径为R ）
9、（10分）
如图所示，一根长为L 的均匀细杆可以绕通过其一端O 的水平轴在竖直平面内转动。

杆开始时在外力作用下保持水平静止，杆上距O 点为a 处有一小物体静止于杆上。

此杆突然在外力作用下以匀角速度顺时针转动，结果经一段时间后
小物体刚好与杆的A端相碰，设小物体在空气中运动时没有翻转。

（1）若小物体的下表面与A相碰，细杆转动的角速度多大？（2）若细杆的角速度取某一合适值，小物体的上表面有没有可能与细杆A端相碰？若无可能，请回答原因。

若有可能，请计算这个角速度应取何值？
10、（10分）
在水平桌面上放一根长1米、质量为0.2千克的均匀直尺,尺的一端伸出桌面20厘米,该端用铰链O连接一根长0.15米的轻杆,在杆的下端和中间各固定有质量均为0.1千克的小球A和B,当杆绕O转动而经过图所示的竖直位置时,直尺恰只对桌子边缘有压力,求此时A球的速度大小(取g=10米/秒2)
圆周运动〈答卷〉
一、计算题
1、（10分） 1：0：待解
2、（10分）
两石块在空间相遇应满足的条件为：（1）A 、B 运动轨迹应在同一竖直平面内，且A 的初速方向指向B 所在的一侧；（2）设B 抛出点离A 抛出点的水平距离为d ，A 的水平飞行距离s=v 0g H 2，则必须有d ＜s= v 0g
H 2；（3）d 满足上述条件且确定后，A 、B 抛出的时间还存在一个时间间隔△t 。

A 抛出到相
遇B 用时为t A =d/v 0。

设B 抛出到相遇A 用时t B ，由H-21g(d/v 0)2=v 0t B -2
1gt 2B ，可得t B =20
2
200v d g v g v -±,△t=|t A -t B |=)2(202200v d g H g v v d +-±.式中t A ＞t B ，则表示A 先抛出；t A ＜t B ,则表示A 后抛出。

两个解则是由于B 可在上升时与A 相遇，也可以是B 在下降时与A 相遇。

3、（10分） M=2
2
332Gt LR
4、（10分）
(1)A 在最高点时，对A 有mg=m l v 2，对B 有T OB -2mg=2m l
v 2
，可得T OB =4mg 。

根据牛顿第三定律，O 轴所受有力大小为4mg ，方向竖直向下
（2）B 在最高点时，对B 有2mg+ T ′OB =2m l
v 2
，代入（1）中的v ，可得T ′OB =0；对A 有T ′OA -mg=m l
v 2
, T ′OA =2mg 。

根据牛顿第三定律，O 轴所受的力的大小为2mg ，方向竖直向下
（3）要使O 轴不受力，据B 的质量大于A 的质量，可判断B 球应在最高点。

对B 有T ′′OB +2mg=2m l v 2，对A 有T ′′OA -mg=m l
v 2。

轴O 不受力时，T ′′OA = T ′′OB ,可得v ′=gl 3
5、（10分） (1) R g μ/ (2) arc sin μ
6、（10分） (1) 2234T km
Qq r π=; (2) 证明略; (3) 库仑力： 比例系数与m q 有关, 万有引力： 比例系数与环行质点性质无关.
7、（10分）
.210
'r r =
8、（10分）
地球表面厚度为h 的表面层对地球表面下h 深处的物体作用的万有引力为零。

设地球的密度为ρ，地球表面和距地面h 深处的地方的重力加速度分别为g 和
g ′。

则地球质量为M=π34R 2·ρ，地球内半径为R-r 的球体的质量为M ′=π3
4(R-r)2
·ρ。

又mg=G 2R Mm ，mg ′=G 2!)(h R m M -式中g ′即为h 深处的重力加速度。

由g ′=0.25g ，可得h=3R/4
9、（10分）
(1)设经过t 时间杆转过的角度为θ，小物体下落的高度为h 。

则θ=wt,h=2
1gt 2；又h=22a L -，cos θ=a/L,联立可得2g =ω(L 2-a 2)-41cos -1L
a , （2）若小物体的上表面与A 相碰，则在小物体下落h=22a L -的时间内，杆转过的角度应为=+θθπ,2w ′t ，cos θ=a/L,由此可得w ′=
2g ( L 2-a 2)-41(2π+ cos -1L
a )
10、（10分）
设直尺的重心和直尺的O 端到桌子边缘的距离分别为L 1和L 2，轻杆长为L ，直尺的质量为M ，A 和B 球的质量均为m ，A 和B 球经过图所示位置时的速度分别为v A 和v B ，OB 段杆和AB 段杆的张力分别为T OB 和T AB 。

对A 球：T AB -mg=m L v A 2对B 球：T OB -T AB -mg=m 2/2L v B 又L v A =2
/L v B ；对直尺：MgL 1=T OB L 2，联立可得v A =1米/秒。