作业：1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。

确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。

试列出问题的数学模型。

解：假设钢板为单位厚度，不考虑钢板焊接或连接耗钢量及相关劳工费用。

设y 为货箱的钢板消耗量，则此问题的数学模型如下：min y= x 1 x 2+2 x 1 x 3+2 x 2 x 3s.t. x 1 x 2 x 3=5x 1>4 x 1 ,x 2 ,x 3>02.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解max f=x 1+2x 2+x 3s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化为标准型：首先，将第二个约束条件两边乘以（－1），再分别对三个约束不等式添加非负的松弛变量654,,x x x ，即可化为如下标准型：3212min x x x f ---=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+++=++-=+-+6,5,4,3,2,1,06465222..632153214321i x x x x x x x x x x x x x t s i 列成表格：2 ○1 -1 1 0 0 2 2 -1 5 0 1 0 6 4 1 1 0 0 1 6 -1 -2* -1 0 0 0 0可见此表已具备1、2、3三个特点。

首先从底行中选元素-2，再在第二列三个元素中，由2/1,6/1,6/1最小者决定选第一行第二列的元素1，标以记号，迭代一次得2 1 -1 1 0 0 2 4 0 ④ 1 1 0 8 2 0 2 -1 0 1 43 0 -3* 2 0 0 4再从底行中选元素-34再迭代一次得3 1 0 5/4 1/4 0 4 1 0 1 1/4 1/4 0 2 0 0 0 -3/2 -1/2 1 0 6 0 0 11/4 3/4 0 10此时，所有的检验数均为正，停止迭代，最优解为：()0,0,0,2,4,0*=x ，最优值为：102142*-=⨯-+⨯-=Z ；3. 试用DFP 变尺度法求解下列无约束优化问题。

min f （X ）=4（x 1-5）2+（x 2-6）2取初始点X=（8，9）T ，梯度精度ε=0.01。

解：取H 0=I ，G =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2008,初始值为x ）（0=(8,9)T, )(f x ∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)62(2)51(8x x 由x ）（0=(8,9)T ， )(f 0）（x ∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡624 )(f 0）（x ∇=24.7386d ）（0=-)(f 0）（x ∇=[-24,-6]T x ）（1= x ）（0+0αd ）（0, 其中0α可由min f(x ）（0+0αd ）（0)=min[4(8-240α-5)2+(9-60α-6)2]利用必要条件ααd d f )x (d )0(0(0)+=-24×8(3-240α)+2×(-6)(3-60α)=46800α-612=0求出 0α=0.13077x ）（1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡98-0.13077⎥⎦⎤⎢⎣⎡624=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21538.886152.4 )(f 1）（x ∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡43076.410784.1- 以下作第二次迭代1δ= x ）（1- x ）（0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡78462.0-13848.3- 1γ=)(f 1）（x ∇-)(f 0）（x ∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡56924.1-10784.25- H 1=H 0+1111γδδδT T -1010110γγγγH H H T T11γδT = []78462.013848.3--，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--56924.110784.25 = 80.00317 101γγH T = 11γγT = 632.86614 T 11δδ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--78462.013848.3[-3.13848,-0.78462]=⎥⎦⎤⎢⎣⎡61563.046251.246251.285006.9H 0011H T γγ = T 11γγ = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡46251.240023.3940023.3940363.630 1H = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--00381.103148.003148.012701.0 (1)d = -1H )(f 1）（x ∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-48252.428019.0 令)2(x= x ）（1+)1(1d α，利用ααd d f )x (d )1(1(1)+ =0，求得1α=0.49423所以 )2(x= x ）（1+)1(49423.0d =⎥⎦⎤⎢⎣⎡99998.500000.5 由于此时()()ε<=∇02x f ，故停止迭代，得到极小近似点()()Tx x 6,52*==；x ）（2即为最优解在matlab 命令窗口输入：x0=[8 9];[x,fval]=fminsearch('4*(x(1)-5).^2+(x(2)-6).^2',x0)回车得到： x =5.00006.0000 fval = 1.5825e-009 其最优解为：x 1= 5，x 2=6，f=1.5825e-0094. 某厂生产甲乙两种口味的饮料，条件如下：因条件所限，甲饮料产量不能超过8百箱。

问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大。

（要求：1.建立数学模型，并求解。

2.用mat lab编写程序）解：（1）假设：只单纯追求利润最大，不考虑风险、时间等其他因素；预计获利正确；生产计划应为整数倍；（2）建模：设x1为对甲种口味饮料的安排生产的百箱数，x2为对乙种口味饮料的安排生产的百箱数，则预计投资获利R=10 x1+9 x2建立如下模型：max R=10x1+9x2s．t．6x1+5x2≤6010x1+20x2≤150x1≤8x1，x2≥0 且为整数化为标准型为min R=-10x1-9x2s.t. 6x1+5x2+x3=6010x1+20x2+x4=150x1+x5=8xi≥0 i=1,2,3,4,5列成表格6 5 1 0 0 6010 20 0 1 0 150○1 0 0 0 1 8-10 -9 0 0 0 0可见此表已具备1、2、3三个特点。

首先从底行中选元素-10，再在第二列三个元素中，由60/6,150/10,8/1最小者决定选第三行第一列的元素1，标以记号，迭代一次得0 ○5 1 0 -6 120 20 0 1 -10 701 0 0 0 1 80 -9 0 0 10 80再从底行中选元素-9，和在第二列正元素中，由12/5、70/20中较小者选5再迭代一次得0 1 1/5 0 -6/5 12/50 0 -4 1 14 221 0 0 0 1 80 0 9/5 0 -4/5 508/5在迭代一次得0 1 -1/7 3/35 0 30/70 0 -2/7 1/14 1 11/71 0 2/7 -1/14 0 45/70 0 11/7 2/35 0 720/7这时第4个特点已具备，故终止。

从表中读出最优解:x2=30/7=4.28571, x5=11/7, x1=45/7=6.42857, x3= x4=0.若把引进的松弛变量略去，则最优解为x*=(6.42857,4.28571)T .最优解为R*=720/7（3）求解应用matlab软件包，编程求得结果：在matlab命令窗口输入：f=[-10;-9];A=[6 5;10 20;1 0];b=[60 150 8];lb=[0 0];[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)回车得到：x =6.42864.2857fval =-102.8571不符合整数解要求，确定分支x1≤6和x1≥7在matlab命令窗口输入：f=[-10;-9];A=[6 5;10 20;1 0];b=[60 150 6];lb=[0 0];[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)回车得到：x =6.00004.5000fval =-100.5000不符合整数解要求，确定分支x1≤6和x2≤4在matlab命令窗口输入：f=[-10;-9];A=[6 5;10 20];b=[60 150];lb=[0 0];ub=[6 4]; [x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)回车得到：x =6.00004.0000fval =-96.0000确定分支x1≤6和x2≤5时x =5.00005.0000fval =-95.0000确定分支x1≥7时x =8.00002.0000fval =-98.0000此时，比较可得出最优解为：x1=8（百箱），x2=2（百箱），R=98（万元）由于甲种口味饮料每百箱所需工人较少，且产生利润较高，而工人数量又较为充足，所以生产计划也较乙种口味饮料稍多一些，这是较为符合实际的。

对于整数线性规划应用Lingo软件包可方便求得。

在模型窗口中输入如下代码：max=10*x1+9*x2;6*x1+5*x2<=60;10*x1+20*x2<=150;x1<=8;@GIN(x1);@GIN(x2);然后点击求解：x1=8，x2=2，max=985.某家具厂要安排一周的生产计划，产品是桌子和椅子。

制作一张桌子需4m2木板及时性20小时的工时，制作一只椅子需6m2木板及18小时的工时，每周能拥有的木板是600m2，可利用的工时是400小时；每张桌子的利润是50元，每只椅子的利润是60元。

按合同每周至少要交付8张桌子和5只椅子，并假定所有的产品都能够销售出去。

问：该厂每周生产桌子和椅子的数量分别是多少时，能获得最大利润？（要求：1.建立数学模型，并求解。

2.用mat lab编写程序）解：（1）假设：只单纯追求利润最大，不考虑风险、时间等其他因素；所有的产品都能够销售出去；预计获利正确；生产计划应为整数倍；（2）建模：设x1为每周生产桌子数，x2为每周生产椅子数，则预计投资获利R=50 x1+60 x2建立如下模型：max R=50x1+60x2s．t．4x1+6x2≤60020x1+18x2≤400x1≥8x2≥5x i∈N i=1，2标准型为：min R=-50x1-60x2s．t．4x1+6x2≤60020x1+18x2≤400 x1≥8x2≥5x i∈N i=1，2引进新变量y1= x1-8替代原问题中的x1，引进新变量y2= x2 -5替代原问题中的x2，化为标准型为min z=－50 y1－60 y2－700s.t. 4 y1+6 y2+y3=53820 y1+18 y2+y4=150yi≥0 i=1,2,3,4列成表格4 6 1 0 53820 18 0 1 150-50 -60 0 0 700可见此表已具备1、2、3三个特点。