可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部 分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x) 这种做法叫延拓。
例
f ( x ), g( x )
f (x ), g( x )
x
f (x) ? x,
(0,1)
偶延拓
x
奇延拓
12
（四） 复数形式的傅里叶展开
? ik? x
主要贡献： 1. 在研究热的传播时创立了一套数学理论 2. 最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根
个数的判别法等， 3. 傅立叶变换的基本思想首先由傅里叶提出；
傅里叶(Fourier )生平简介
?傅立叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦 为孤儿，被当地一主教收养。 ?1780: 读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教， ?1798: 随拿破仑军队远征埃及，任军中文书和埃及研究院秘书，
？？？
这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景
三角函数族：
1,cos ? x ,cos 2? x ,
l
l
sin ? x ,sin 2? x ,
l
l
,cos k ? x ,
l
,sin k ? x ,
l
正交性
三角函数族：正交性
1：利用三角恒等式 cos (x+y)=cosx coy – sin x sin y, cos (x-y)=cosx coy + sin x sin y,
,e l ,
? i? x
i? x
, e l ,1, e l ,
i k? x
,e l ,
? i k? x
? i k? x
k? x
cos l
sin k? x
l
? ?? ? ? ?
?
?e l
?
? ? ?
e
i
k?
l
x
?e l 2
? i k? x
?e l
? 2i
?
i k? x
? f (x) ? cke l ,
( ? <1)
? ak
?
1
?k?
? ??
(1 ? ? 2 )cos kx 1 ? 2? cos x ? ?
2
dx
eikx ? cos kx ? i sin kx
1
(1 ? ? 2 )z k dz
? ?
? k?
z ?1
1 ? ? (z ?
1)? ? 2
iz
z
i (1 ? ? 2 )
k ? ??
? f ( x ) ?
k
? ??
ak
cos
k?
l
x
?
bk
sin
k?
l
x
? ??
（ak，bk）?
ak ? ibk , ak ? ibk
2
2
（ck ， c? k）
其中
? 1
ck ? 2l
l
f
(?
i k??
)[e l
]* d?
.
?l
c? k ? ck * 13
例1： f ( x ) ? x 2 , ( ? ? <<? )
? 2
ak ? ? k?
? x 2 cos kxdx
0
? x 2
?
?2
3
?
?
4 (?
k =1
1)k
1 k2
cos kx
X=pi
? ?
2
?
?2
3
?
?
4
k =1
1 k2
?? 1 ? 2
k2
k =1
?
6
? 例2： f ( x ) ?
1?
1? ? 2 2? cos x ? ? 2
?
?
ak cos kx ,
k =0
f ( x ) ? bk sin
k ?1
l
,
1l
k ??
? bk ? l
f (? )sin
?l
l
d? .
? 偶函数 f(z) 有
?
k? x
f ( x ) ? a 0 ? a k cos
k?1
, l
1l
k ??
? ak ? ? k l
f (? )cos
?l
l
d? .
11
（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开 f(x) 定义于 (0, l)
受到拿破仑器重， ?1801: 伊泽尔省格伦诺布尔地方长官， ?1807: 热传导的论文《热的传播》，呈交巴黎科学院，但经拉格
朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被拒绝，1811: 提交经修 改的论文，该文获科学院大奖，却未发表,
[推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由
三角函数构成的级数表示，从而提出任一函数都可以展成三角函 数的无穷级数] 1817: 当选为巴黎科学院院士, 1822: 专著《热的解析理论》, 1822: 科学院终身秘书
第5章 傅里(立）叶(Fourier )变换
?让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶 （ 1768 –1830 ） （Jean Baptiste Joseph Fourier） ?法国著名数学家、物理学家， ? 1817年当选为科学院院士， ? 1822年任该院终身秘书， ?后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席，
三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于 f(x)。
7
三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于 f(x)。
8
9
狄里希利(狄里克雷Dirichlet) 定理： 若函数 f(z) 满足条件 ： (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； (2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛，且
傅里叶(Fourier )
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理 、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着 广泛的应用。
1. 傅里叶级数， 2. 傅里叶积分与变换 3. Delta函数
§5.1 傅里叶级数
（一） 周期函数的傅里叶展开 f (x ? 2l) ? f (x)
周期2l > 0
三角函数族： 最小正周期： 2l
?x
2? x
1,cos
,cos
,
l
l
sin ? x ,sin 2? x ,
l
l
k? x
,cos
,
l
,sin k ? x ,
l
最小正周期：
2l
l ,…., 2l/k,…..
偶函数 奇函数
? f
(x) ?
a0
?
? k?
1
? ??
a
k
cos
k?
l
x
?
bk
sin
k?
l
x
? ??
? f ( x ),
级数和
?
?
? ??
1 2
{
f
(
x
?
0) ?
f (x ?
0)}.
(在连续点 x ) (在间断点 x )
第一类间断点: 函数在间断点处左右极限存在，但不相等。
10
（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开
sin k? x 是奇函数
l
cos k? x 是偶函数
l
? 奇函数 f(z) 有
?
k? x
2. 转化为复数证明 3. 微分方程的解
? f
(x)
?
a0
?
?
? ?
ak
k?1 ?
cos
k?
l
x
?
bk
sin
k?
l
x
? ? ?
? ?
??
ak
?
?
1
?kl
l
k ??
f (? )cos d? ,
?l
l
? ?
??
1 bk ? l
l f (? )sin k?? d? .
?l
l
其中
?k
?
?2
? ?
1
(k ? 0) (k ? 0)