解析几何大量精选12 1.在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ．5 ⑴求轨迹C 的方程；6 ⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．7 【解析】 ⑴ 2214x y +=．8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -=+ ②13 且22221212121224()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -⋅=++=+++=+，14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．17将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．18 所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点．21 即直线l 经过点A ，与题意不符．22 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．23显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭2526 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半27轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程；29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅的取32 值范围．33 【解析】 ⑴22143x y +=．34⑵ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．35 由22(4),1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①36设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -． 37 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 38 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+． 39 将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②40由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．41 所以直线AE 与x 轴相交于定点(10)Q ，．42⑶ 54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 434445 ３.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合，46 12F F ，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭47 圆C 交于M N 、两点．48 ⑴ 求椭圆C 的方程；49 ⑵ 是否存在直线l ，使得2OM ON ⋅=-．若存在，求出直线l 的方程；50若不存在，说明理由．51 【解析】 ⑴22143x y +=．52 ⑵ 由题意知，直线l 与椭圆必有两个不同交点． 53 ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．54 ②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠，且11()M x y ，，22()N x y ，．55由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 562122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 5721212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++58 2222222224128512(1)2343434k k k k k k k k k ---=+⋅-⋅+==-+++，59所以k =60 故直线l的方程为1)y x =-或1)y x =-．61 本题直线l 的方程也可设为1my x =-，此时m 一定存在，不能讨论，62 且计算时数据更简单．63 64 65 ４.如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>x 轴被曲线22:C y x b=-66 截得的线段长等于1C 的长半轴长．67⑴ 求12C C ，的方程；68 ⑵ 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点69 A B ，，直线MA MB ，分别与1C 相交与D E ，．70 ①证明：MD ME ⊥；71 ②记MAB MDE △，△的面积分别是12S S ，．问是否存在直线l ，使得72 121732S S =?请说明理由． 73【解析】 ⑴ 222114x y y x +==-，．74 ⑵ ①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，75 则直线l 的方程为y kx =．76 由21y kxy x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=，77 设()()1122A x y B x y ，，，，则12x x ，是上述方程的两个实根，于78 是12121x x k x x +==-，． 79 又点M 的坐标为()01-，， 80 所以81 ()()()212121212121212111111MA MBkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x +++++++⋅=⋅===-， 82 故MA MB ⊥，即MD ME ⊥．83 ②设直线KM 的斜率为1k ，则直线的方程为11y k x =-，84由1211y k x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，则点A 的坐标为85 ()2111k k-，．86 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为87 211111k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 88于是211111111||||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=．89由1221440y k x x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得()22111480k x k x +-=， 90解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为21122118411414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，； 91又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标92 21122118444k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． 93于是()()()21122211321||1||||2144k k S MD ME k k +⋅=⋅=++． 94因此222111122211(14)(4)144176464S k k k S k k ⎛⎫++==++ ⎪⎝⎭， 95由题意知，212114174176432k k ⎛⎫++=⎪⎝⎭解得214k =或2114k =． 96又由点A B ，的坐标可知，21211111111k k k k k k k -==-+，所以32k =±． 97故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和98 32y x =-．99 100 ５. 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，101 点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 102 交于不同的两点P 和Q ．103 ⑴ 求轨迹C 的方程；104 ⑵ 当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．105 【解析】 ⑴ 2214x y +=．106 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 107 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 108 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 109 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①110 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 111 且22221212121224()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -⋅=++=+++=+，112显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 113 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 114 由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 115 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．116 所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①117 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-118 点．119 即直线l 经过点A ，与题意不符．120 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．121显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，满足题意． 122综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭． 123124。