课时分层作业 (五十 ) 函数 y ＝ Asin(x ＋ φ)(建议用时： 60 分钟)[合格基础练 ]、选择题1．下列表示函数 y ＝sin 2x － 3 在区间－2，π上的简图正确的是 (当 x ＝6π时 y ＝ sin 0＝0，排除 C ， 故选 A.]2．把函数 y ＝sin 2x －4π的图象向左平移 8π个单位长度， 所得到的图象对应的 函数是 ( )A ．奇函数 B.偶函数C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数A [y ＝sin 2x －4π＝sin 2 x －8π ，向左平移 8π个单位长度后为 y ＝3．同时具有性质“ (1)最小正周期是 π；(2)图象关于直线 x ＝3π对称； (3)在A [当 x ＝π时，y ＝ sin －3π＝－ 23排除 B 、D.sin 2x ，为奇函数 ．]－6π，3π上单调递增”的一个函数是 ( )证知只有 C 符合要求 ． ]4．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的一部分图象如图所示， 若 A>0，ω>0， |φ|< 2π，则 ( )A ．B ＝4C ．ω＝1B [ 由函数图象可知 f(x) min ＝ 0， f(x) max ＝4. 4－0 4＋0所以 A ＝ 2 ＝ 2，B ＝ 2 ＝2. 2π 5π π由周期 T ＝ω＝4 12－6 知 ω＝2. 由 f 6 ＝4得 2sin 2× 6＋φ＋ 2＝ 4， π π πsin 3＋φ＝ 1，又 |φ|<2，故 φ＝6.]5．已知函数 f(x)＝cos ωx －6π(ω>0)的相邻两个零点的距离为 2π，要得到 y ＝f(x)的图象，只需把 y ＝cos ωx 的图象 ()A ．向右平移 1π2个单位B ．向左平移 1π2个单位A ．y ＝sin 2x＋6 B ． y ＝cos 2x ＋ 3 C ．πy ＝sin 2x － 6D ． y ＝cos2x －6 [ 由(1)知 T ＝π＝2ωπ，2，排除 A. 由(2)(3)知 x ＝，f(x)取最大值 ，验π B ．φ＝6 D ．A ＝4πC ．向右平移 6π个单D ．向左平移 6π个单位A ［由已知得2ωπ＝2×2π，故 ω＝2. ω2y ＝cos 2x 向右平移1π2个单位可得 y ＝cos 2x －12＝cos2x －6的图象．］ 二、填空题6．要得到函数 y ＝sin 21x 的图象，只需将函数 y ＝sin 21x ＋4 的图象向右平移 _________ 个单位．2π ［由于 y ＝sin 12x ＋ 4π＝ sin 21 x ＋2π ，故要得到 y ＝sin 12x 的图象 ，只要将 y＝sin 21x ＋4 的图象向右平移 2π个单位 ．］7．将函数 y ＝sin 3x ＋4π的图象向右平移 8π个单位长度， 再将图象上各点的横 坐标扩大到原来的 3倍（纵坐标不变 ），则所得的函数解析式是 _____π向右平移 8个单位长度y ＝sin x － 8π [y ＝ sin3x ＋4π各点的横坐标扩大到原来的 3倍 πy ＝sin x －8π，ππ8．某同学利用描点法画函数 y ＝Asin （ωx ＋φ）（其中 0<A ≤2,0<ω<2，－2<φ<2） 的图象，列出的部分数据如下表：经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数 ＝ Asin (ωx ＋ φ)的解析式应是 ______ ．y ＝ sin 3π π π x －8 ＋ 4 ＝sin3x －8故所得的函数解析式是 y ＝sin x －纵坐标不变y＝ 2sin 3πx＋6π［在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．根据函数图象的大致走势，可知点 (1,0)不符合题意；又因为 0<A≤ 2，函数图象过 (4，－2)，所以 A＝ 2.因为函数图象过 (0,1)，∴2sin φ＝1，又∵－2<φ<2，∴φ＝6，由(0,1)，(2,1)关于直线 x＝1 对称，知 x＝1 时函数取得最大值 2，因此函数的最小正周期为 6.π∴ω＝3.]三、解答题π9．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< 2)的部分图象如图所示．(1)求函数 f(x)的解析式；(2)如何由函数 y＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数 f(x)的图象，写出变换过程．［解］ (1)由图象知 A＝ 1.f(x)的最小正周期 T＝ 4× 12－6＝π，故ω＝T＝2，将点6π，1 代入 f(x)的解析式得 sin 3π＋φ＝1，π π π又|φ|<2，∴ φ＝6.故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝sin 2x＋6 .(2)变换过程如下：所有点的横坐标缩小为原来 1/2倍y＝sin x图象上的――――――――――――――――→ y＝sin 2x的图象，再把 y 纵坐标不变＝sin 2x的图象,向左平移1π2个单位 y＝sin 2x＋6的图象．2π10．已知函数 f(x)＝2cos2ωx－1＋2 3sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线 x＝3是函数f(x) 的图象的一条对称轴．(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)已知函数 y＝g(x)的图象是由 y＝ f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，然后再向左平移23π个单位长度得到的，若 g 2α＋π3＝65，α∈ 0，2π，求 sin α的值．［解］ (1)f(x)＝cos 2 ωx＋3sin 2ωx＝2sin2 ωx＋6，由于直线 x＝3π是函数 f(x)＝2sin 2ωx＋6π的图象的一条对称轴， 2πππ所以3ω＋6＝kπ＋2(k∈Z)，31解得ω＝2k＋2(k∈Z)，1又0< ω< 1，所以ω＝2，所以 f(x)＝2sin x＋6 .π π π由2kπ－2≤x＋6≤ 2kπ＋2(k∈Z)，2ππ得2kπ－3≤x≤2kπ＋3(k∈Z )，所以函数 f(x)的单调递增区间为 2k π－ 23 ， 2k π＋3π(k ∈Z )． (2)由题意可得 g(x)＝ 2sin 21x ＋23 ＋6π， x即 g(x) ＝2cos 2，D ［当 a ＝0 时，f(x)＝1，是选项 C ，当 a ≠0 时， 2π函数 f(x)＝1＋asin ax 的周期 T ＝|a|， 振幅为 |a|，所以当 |a|<1 时，T>2π.当|a|>1 时 T<2π，由此可知 A ，B 有可能出现 ，D 不可能 ．］2．函数 y ＝sin 2x 的图象向右平移 φ个单位长度 (φ>0)得到的图象恰好关于由 g 2α＋ π66 ＝ 5，得 cos π3 α＋6 ＝5，所以 sin 6＝ 4，sin α＋6π·cos 6π－ cos α＋ ππ6 ·sin 6 ＝45× 3－3×1＝4 3－ 3 2 － 5×2＝101．已知 a 是实数，［等级过关练 ］则函数 f(x)＝1＋asin ax 的部分图象不可能是( 2cos α＋ 3π＝又π π 2 π 故6<α＋6<3，＋ 所以 sin α＝6π－6πx ＝ 6对称，则 φ的最小值是 _______ ．152π [函数 y ＝ sin 2x 的图象向右平移后得到 y ＝sin[2(x －φ)]的图象，而 x ＝6π是π π－ kπ π6－φ＝kπ＋2(k ∈Z )，所以 φ＝ 2 －12(k ∈Z )．又 φ>0当 k ＝－1 5π时 ，φ取得最小值 12π.]3．函数 f(x)＝ 3sin 2x －3π的图象为 C ，则以下结论中正确的是 _______ ．(写 出所有正确结论的编号 )① 图象 C 关于直线 x ＝ 12对称； ② 图象 C 关于点 23π，0 对称；3③ 函数 f(x)在区间 － 1π2，512π内是增函数；π④ 由 y ＝3sin 2x 的图象向右平移 3π个单位长度可以得到图象 C.②③ [f 1π2 ＝3sin 2×1π2－ π3故①错，②正确．π π π令－ 2＋ 2kπ≤ 2x－3≤2＋2kπ，k ∈Z ，π5解得－ 12＋kπ≤x≤12π＋kπ，k ∈Z ，故③正确．函数 y ＝3sin 2x 的图象向右平移 3π个单位长度 ，得到函数 y ＝3sin 2 x －3π＝ 3sin 2x － 23π的图象 ， 故④错 ．]2f3414．函数 y ＝2sin πx － (－2≤x ≤4)的所有零点之和为 _________1－ x18 ［函数 y ＝2sin πx－ (－ 2≤ x ≤4)的零点即1－x 1方程 2sin πx＝ 的根 ，1－x1作函数 y ＝ 2sin x π与 y ＝ 的图象如下：由图可知共有 8 个公共点所以原1－x 函数有 8 个零点 ．1令 t ＝1－x ，则 y ＝ 2sin t π－ t ，t ∈［－3,3］，该函数是奇函数 ，故零点之和为 0.所以原函数的零点之和为 8.］ π5．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|< 2)的一系列对应值如表：xπ －6π 35π 64π 311π 67π 317π 6y－1 1 3 1 －1 1 3(1)根据表格提供的数据求函数 f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数 y ＝f(kx)(k>0)的最小正周期为 23π，当 x ∈ 0，3π时， 方程 f(kx)＝m 恰有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围．y ＝ 2sin xπ－ 1－x 2sin π－(1x)－11－x［解］ (1)设 f(x)的最小正周期为 T，则T＝161π－－6π＝2π，由 T＝2ωπ，得ωB＋A＝3，A＝ 2，5ππ5ππ＝ 1，又解得令ω·56π＋φ＝2π，即56π＋φ＝2π，解得φ＝B－A＝－ 1，B＝1， 6 2 6 2－3π，∴ f(x)＝2sin x－3π＋1.(答案不唯一 )(2)∵函数 y＝f(kx)＝2sin kx－3π＋1的最小正周期为23π，且 k>0，∴k＝3.令t＝3x－3π，∵ x∈ 0，3π，∴t∈ －3，23，如图所示，当 sin t＝s 在－3π，23π上有两个不同的实数解时， s∈ 23，1 ，∴当 x∈ 0，3π时，由方程 f(kx)＝m 恰有两个不同的实数解得 m∈[ 3＋1,3)，即实数 m 的取值范围是 [ 3＋ 1,3)．。