[类题通法] 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通 过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与 x 轴的交 点个数，从而判断方程根的个数．
[活学活用] a 为何值时，方程 x3－3x2－a＝0 恰有一个实根、两个不等实根、 三个不等实根？有没有可能无实根？
解：令 f(x)＝x3－3x2，则 f(x)的定义域为 R， 由 f′(x)＝3x2－6x＝0， 得 x＝0 或 x＝2， 所以当 x＜0 或 x＞2 时，f′(x)＞0； 当 0＜x＜2 时，f′(x)＜0.
函数f(x)在x＝－1a处取得极小值f－1a＝－1－31a2，
在x＝a处取得极大值f(a)＝a2＋13a4.(7分) 当a＜0时， 令f′(x)＝0，得到x＝a或x＝－1a.
[名师批注] 易忽视对a的讨论，凡涉及 参数时，应对参数进行讨论
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a)
a
f′(x)
＋
0
a，－1a －
－1a
－1a，＋∞
0
＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
(10分) [名师批注]
列表是初学函数极值的重要步骤，列表正确
与否对判断函数的单调性与极值有很大关系.
[活学活用]
设函数f(x)＝－
1 3
x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，出函数 f(x)的大致图象，如图所示． (2)结合图象，当极大值 a＋2＝0 时，有极小 值小于 0， 此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点， 即方程 f(x)＝0 恰有两个实数根， 所以 a＝－2 满足条件； 当极小值 a－2＝0 时，有极大值大于 0， 此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点， 即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根， 所以 a＝2 满足条件． 综上，当 a＝±2 时，方程恰有两个实数根．
问题 4：当 x＝d 时，请回答以上问题． 提示：①f′(d)＝0；②不是，但 f(d)比 x＝d 附近的函数值 都小；③在 x＝d 附近左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.
[导入新知] 1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在 点 x＝a 附近其 他点 的函数值都小，f′(a)＝ 0 ，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x) < 0，右侧 f′(x) > 0，就把 点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小 值点， f(a) 叫做函数 y＝f(x)的极小值．
函数的单调区间与极值．
解：f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1. 令f′(x)＝0， 得到x＝1－m或x＝1＋m. 因为m>0， 所以1＋m>1－m. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
(－∞， 1－m)
－
f(x) 单调递减
1－m 0
(1－m, 1＋m)
＋
极小值 单调递增
1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是
①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cos x－1；④y＝2x
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
解析：①④为单调函数，不存在极值．
答案：B
()
2．(陕西高考)设函数f(x)＝2x＋ln x，则
()
A．x＝12为f(x)的极大值点
B．x＝12为f(x)的极小值点
1＋m 0
(1＋m， ＋∞)
－
极大值 单调递减
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)， 单调递增区间为(1－m,1＋m)．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)＝－23m3＋m2－13； 函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)＝23m3＋m2－13.
[随堂即时演练]
3．3.2 函数的极值与导数
[提出问题] 如图是函数 y＝f(x)的图象．
问题 1：y＝f(x)在 x＝a 处的导数 f′(a)等于多少？ 提示：f′(a)＝0. 问题 2：当 x＝a 时，f(x)取最大值吗？ 提示：不是，但 f(a)比 x＝a 附近的函数值都大．
问题 3：在 x＝a 附近两侧导数 f′(x)的符号有什么特点？ 提示：在 x＝a 附近左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
C．x＝2为f(x)的极大值点
2．求函数 y＝f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0) 是 极大值 ； (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0) 是 极小值 ．
[化解疑难] 1．对极值概念的理解 (1)函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的 函数值比较是最大的或是最小的． (2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能极 值不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．极值与极值点辨析 (1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是 点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应 点的纵坐标． (2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增
14 单调递减 －6 单调递增 3
故当 x＝－1 时，函数取得极大值，且极大值为 f(－1)＝134； 当 x＝3 时，函数取得极小值，且极小值为 f(3)＝－6.
(2)函数 f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)， 且 f′(x)＝1－xl2n x.令 f′(x)＝0，得 x＝e. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
利用导数求函数的极值
[例 1] 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝lnx
x .
[解] (1)f′(x)＝x2－2x－3. 令 f′(x)＝0，得 x1＝3，x2＝－1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x)
－
0
(－2,2) ＋
2 (2，＋∞)
0
－
f(x) 单调递减 －10 单调递增 22 单调递减
当 x＝－2 时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(－2)＝－10； 当 x＝2 时，f(x)有极大值，并且极大值为 f(2)＝22.
(2)函数 f(x)的定义域为 R. f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1. 令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
[解题流程]
[规范解答]
∵f(x)＝－23ax3－x2＋a2x2＋2ax，
∴f′(x)＝－2ax2－2x＋2a2x＋2a＝－2(ax2＋x－a2x－a)
＝－2(x－a)(ax＋1)．(2分) 当a＞0时，
[名师批注]
令f′(x)＝0可得x＝－1a或x＝a.
易忽视对a的讨论，凡涉及 参数时，应对参数进行讨论
解：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b. ∵x＝－1 时函数取得极大值，x＝3 时函数取得极小值， ∴－1,3 是方程 f′(x)＝0 的根，即为方程 3x2＋2ax＋b＝0 的两根．
故－－11＋×3＝3＝－b32，3a，
解得ab＝＝－－39，.
∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－∞，－1a
－1a
f′(x)
－
0
－1a，a ＋
a
(a，＋∞)
0
－
f(x) 单调递减
极小值 单调递增
极大值 单调递减
[名师批注]
(5分)
列表是初学函数极值的重要步骤，列表正确 与否对判断函数的单调性与极值有很大关系.
所以f(x)在区间－∞，－1a，(a，＋∞)内为减函数，在区间－1a，a内为 增函数．
[解] 由已知 f′(x)＝3x2－6ax＋2b， ∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0.① 又∵f(1)＝1－3a＋2b＝－1，② 由①②解得 a＝13，b＝－12， ∴f(x)＝x3－x2－x. 由此得 f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
令 f′(x)＞0，得 x＜－13或 x＞1； 令 f′(x)＜0，得－13＜x＜1， ∴f(x)在 x＝1 的左侧 f′(x)＜0， 右侧 f′(x)＞0， 即 f(x)在 x＝1 处取得极小值， 故 a＝13，b＝－12，且 f(x)＝x3－x2－x. 它的单调递增区间是－∞，－13和(1，＋∞)； 单调递减区间是－13，1.
∵x＝－1 时取得极大值 7，
∴(－1)3－3(－1)2－9(－1)＋c＝7.
∴c＝2.
∴函数 f(x)的极小值为
f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.
函数极值的综合应用 [例 3] 已知 a 为实数，函数 f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求函数 f(x)的极值，并画出其图象(草图)； (2)当 a 为何值时，方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根？
(2)极大值点与极大值 若函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在 点 x＝b 附近其 他点 的函数值都大，f′(b)＝ 0 ，而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x) > 0，右侧 f′(x) < 0，就把 点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大 值点， f(b) 叫做函数 y＝f(x)的极大值． (3)极大值点和极小值点统称为 极值点 ，极大值和极小值统 称为函数的 极值 ．
x f′(x)
f(x)