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课堂总结
2．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是 ( ) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析 因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“ 方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要 做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”． 答案 A
第2讲 直接证明与间接证明
最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法 和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2. 了解反证法的思考过程和特点．
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知识梳理
1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和 某些数学定义、 公理、定理等， 经过一系列的推 理论证，最后推 导出所要证明的 结论_成__立__
(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)ab2＋bc2＋ca2≥1. 证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
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课堂总结
所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤13. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立． (2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.所以ab2＋bc2＋ca2≥1. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
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诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”综合法是直接证明，分析法是间接证明．
(×)
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立
的充要条件．
(×)
(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”． ( × )
(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾． ( × )
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课堂总结
3．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，则a与b的大小关系为
()
A．a>b
B．a<b
C．a＝b
D．a≤b
解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x<0时，0<b<1，
∴a>b.
答案 A
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4．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是
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规律方法 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向 结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明 函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式； (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼 近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是 因果关系不明确，逻辑表达混乱．
要证……只需证…… 即证……
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2. 间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是 一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题_不__成__立__(即在原命题的条件 下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此 说明假设错误，从而证明_原__命__题__成__立___的证明方法． (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论 不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为 止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论 成立．
A．ac2<bc2
B．a2>ab>b2
()
11 C.a<b
ba D.a>b
解析 a2－ab＝a(a－b)， ∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0， ∴a2>ab.① 又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，② 由①②得a2>ab>b2. 答案 B
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5．(人教A选修2－2P96例1改编)在△ABC中，三个内角A， B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a， b，c成等比数列，则△ABC的形状为________． 解析 由题意 2B＝A＋C，
从要证明的结论出发，逐 步寻求使它成立的_充__分__条 件，直到最后把要证明的
结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件、定 理、定义、公理等)为止
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实质
由因导果
执果索因
框图 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 表示 →…→ Qn⇒Q
文字 语言
因为……所 以…… 或由……得……
Q⇐P1 → P1⇐P2 →…→ 得到一个明显 成立的条件
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课堂总结
＝14|a|2|b|21－|aa|·|bb|2 ＝14[|a|2|b|2－(a·b)2] ∴S△ABC＝12 |a|2|b|2－（a·b）2.
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考点二 分析法的应用 【例2】 已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立， 只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0， 即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0， 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0， 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
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【训练 1】 在△ABC 中，设C→B＝a，C→A＝b，求证：S△ABC＝12 |a|2|b|2－（a·b）2. 证明 ∵S△ABC＝12|a||b|sin C，cos C＝|aa|·|bb|， ∴S2△ABC＝14|a|2|b|2sin2C
＝14|a|2|b|2(1－cos2C)
π 又 A＋B＋C＝π，∴B＝ 3 ，又 b2＝ac，
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3 ，
∴△ABC 为等边三角形． 答案 等边三角形
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课堂总结
考点一 综合法的应用 【例1】 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：