C A B
D 勾股定理全章类题总结
类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。

（1）求AB 的长； （2）求CD 的长。

类型二：面积问题
【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的
正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。

【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD
的面积和周长。

（2）求∠ADC 的度数。

【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥
BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______. 【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是( )
A. 12
B. 13
C. 144
D. 194
类型三：距离最短问题
【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出
总费用是多少？
A
B
C
D
7cm
B
D E
B
169
25
A B
C
D
L
【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的
直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．
【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B
的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
类型四：判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2
+b 2
+c 2
+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。

【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2
(m,n 为正整数,且m ＞n),判
断△ABC 是否为直角三角形.
【练习2】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件
a 2＋
b 2＋
c 2＋338＝10a ＋24b ＋26c ，试判断△ABC 的形状.
【练习3】.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足
(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）三角形 A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角
【练习4】三角形的三边长为
ab c b a 2)(2
2+=+,则这个三角形是( ) 三角形 （A ）等边（B ）钝角（C ） 直角（D ）锐角
类型五：直接考查勾股定理
【例题】在Rt △ABC 中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b ； (2)已知a=40，b=9，求c ；(3)已知c=25，b=15，求a.。

小河 A
B
北 牧童 小屋
【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
类型六：构造应用勾股定理
【例题】如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
【练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

类型七：利用勾股定理作长为n的线段
例1在数轴上表示的点。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

【练习】在数轴上表示13的点。

类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17
B、4，5，6
C、5，8，10
D、8，39，40
类型九：生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。

【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草。

【练习3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
类型十：翻折问题
【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EF 的长。

【练习2】如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，求AC 的长。

C B A D
E
勾股定理的逆定理
1.有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32,42,52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4
2.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )
A.6
B.4.5
C.2.4
D.8 3.下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ） A 、5组； B 、4组； C 、3组； D 、2组
4.在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（ ）
A 、125 ；
B 、135 ；
C 、56 ；
D 、245
5. 下列说法中, 不正确的是 ( )
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形
B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形
C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形
D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形
6（呼和浩特）如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A. CD 、EF 、GH
B. AB 、EF 、GH
C. AB 、CD 、GH
D. AB 、CD 、EF
7.如图4所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角
形,•其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D 的面积的和
是_______cm 2.
7cm
D
C
B A
8．已知2条线段的长分别为3cm 和4cm ，当第三条线段的长为_______cm 时，这3条线段
能组成一个直角三角形．
9、在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________．
10. 传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________
11．小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方法吗？ 12.给出一组式子:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262……
（第6题）
(1)你能发现上式中的规律吗? (2)请你接着写出第五个式子. 13．观察下列各式，你有什么发现？
32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41……
这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．•如果132=b+c ，则b 、c 的值可能是多少
14．如图，是一块由边长为20cm 的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A 处，•它想先后吃到小朋友撒在B 、C 处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？
15．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，点D 在BC 上，AD=12，BD=5，试问AD 平分∠BAC 吗？为什么？
D C
A
B
16．如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=•3cm ，•BC=12cm ，CD=13cm ，AD=4cm ，东东由此认为这个四边形中∠A 恰好是直角，•你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A 是直角？
D
C
A B
17. 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。

另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______
米
A。