生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( )cm B ．1033cm cm D ．2033cm[答案] D2．用总长为6m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3：4，那么容器容积最大时，高为( )A ．0.5mB ．1mC ．0.8mD ．1.5m[答案] A[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3x m 、4x m ，则高为6－12x －16x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－7x (m)，容积V ＝3x ·4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－7x ＝18x 2－84x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <314，V ′＝36x －252x 2， 由V ′＝0得x ＝17或x ＝0(舍去)．x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，17时，V ′>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫17，314时，V ′<0，所以在x ＝17处，V 有最大值，此时高为0.5m.3．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )A ．RB ．2R RD ．34R[答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2，∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3，V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R . 当0<h <43R 时，V ′>0；当4R 3<h <2R 时，V ′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8B ．203C ．－1D ．－8[答案] C[解析] 瞬时变化率即为f ′(x )＝x 2－2x 为二次函数，且f ′(x )＝(x －1)2－1，又x ∈[0,5]，故x ＝1时，f ′(x )min ＝－1.5．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．[答案] 25[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ， 由题知a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．6.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________________．[答案] 1：1[解析] 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，∴窗户周长L＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，∴L ′＝π2＋2－S x 2.由L ′＝0，得x ＝2S π＋4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2S π＋4时，L ′<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0，∴当x ＝2S π＋4时，L 取最小值，此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1.7．永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝万元；当x＝30万元时，y ＝万元．(参考数据：ln2＝，ln3＝，ln5＝．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．[解析] (1)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ×102＋10150×10－b ln1＝，a ×302＋10150×30－b ln3＝，解得a ＝－1100，b ＝1，则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x 10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x 10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－x －1x －5050x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数；当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数，∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝(万元)．8．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D ．12πr 2[答案] A[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ，则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21.∴S ＝4πr 2r 21－r 41.令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r .此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 9．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32(x ∈N ＋)． (1)写出该厂的日盈利额T (元)用日产量x (件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件[解析] (1)由意可知次品率p ＝日产次品数/日产量，每天生产x 件，次品数为xp ，正品数为x (1－p )．因为次品率p ＝3x 4x ＋32，当每天生产x 件时，有x ·3x 4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品．所以T ＝200x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N ＋)．(2)T ′＝－25·x ＋32·x －16x ＋82，由T ′＝0得x ＝16或x ＝－32(舍去)．当0<x ≤16时，T ′≥0；当x ≥16时，T ′≤0；所以当x ＝16时，T 最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利．10．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m 2＋16＝21， 解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，11．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽视不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该地的长和宽都不能超过16m ，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．[解析] 设污水处理池的长为x m ，则宽为200x m ，再设总造价为y 元，则有 (1)y ＝2x ×400＋200x ×2×400＋248×2×200x ＋80×200＝800x ＋259200x ＋16000≥2800x ·259200x ＋16000＝2×14400＋16000＝44800，当且仅当800x ＝259200x ，即x ＝18(m)时，y 取得最小值．∴当污水处理池的长为18m ，宽为1009m 时总造价最低，为44800元．(2)∵0<x ≤16,0<200x ≤16，∴≤x ≤16，x ≠18，由(1)知，y ＝φ(x )＝800(x ＋324x )＋16000≤x ≤16)．y ′＝φ′(x )＝800(1－324x 2)，当≤x ≤16时，y ′＝800·x 2－324x 2<0，∴φ(x )在[,16]上为减函数．从而φ(x )≥φ(16)＝45000.∴当长为16m 、宽为12.5m 时，总造价最低，最低造价为45000元.12．如图所示，在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大最大容积是多少解 设箱子的底边长为x cm ，则箱子高h ＝60－x 2 cm.箱子容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x <60)． 求V (x )的导数，得V ′(x )＝60x －32x 2＝0，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝40.当x 在(0，60)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在x ＝40V (x )的最大值．将x ＝40代入V (x )得最大容积V ＝402×60－402＝16 000(cm 3)．所以，箱子底边长取40 cm 时，容积最大，最大容积为16 000 cm 3.13．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x －1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x ＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0，64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64，640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x－1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．。