第五章 数组和广义表
数组与广义表可视为线性表的推广，其特点是 数据元素仍然是一个表。
5.1 数组的定义 5.2 数组的顺序表示和实现 5.3 矩阵的压缩存储 5.3.1 特殊矩阵 5.3.2 稀疏矩阵 5.4 广义表的定义 5.5 广义表的存储结构 5.6 广义表的递归算法
5.1 数组的定义
数组的逻辑结构 其特点是结构中的元素本身可以是具有某种结构的 数据，但属于同一数据类型。 比如：一维数组可以看作一个线性表，二维数组 可以看作“数据元素是一维数组”的一维数组， 三维数组可以看作“数据元素是二维数组”的一 维数组，依此类推。例如，二维数组： a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n Amn= … … …… am1 am2 … amn


数组：是一个具有固定格式和数量的数据有序集， 每一个数据元素有唯一的一组下标来标识。 通常在各种高级语言中数组一旦被定义，每一维的 大小及上下界都不能改变。

在数组上不能做插入、删除数据元素的操作，在数 组中通常做下面两种操作： (1) 取值操作：给定一组下标，读其对应的数据元素。 (2) 赋值操作：给定一组下标，存储或修改与其相 对应的数据元素。
这样的存储方法确实节约了存储空间，但矩阵的运算从算 法上可能变的复杂些。 下面我们讨论这种存储方式下的稀疏矩阵的两种运算：转 置和相乘。
define SMAX 1024 /*一个足够大的数*/ typedef struct { int i,j; /*非零元素的行、列*/ datatype v; /*非零元素值*/ }SPNode; /*三元组类型*/ typedef struct { int mu,nu,tu; /*矩阵的行、列及非零元素的个数*/ SPNode data[SMAX]; /*三元组表*/ } SPMatrix; /*三元组表的存储类型*/
M=
T=
图5.4 稀疏矩阵M和T
一、三元组顺序表
将三元组按行优先的顺序，同一行中列号从小到 大的规律排列成一个线性表，称为三元组表， 采用顺序存储方法存储该表。如图5.11稀疏矩 阵对应的三元组表为图5.12。 显然，要唯一的表示一个稀疏矩阵，还需要存储 三元组表的同时存储该矩阵的行、列，为了运 算方便，矩阵的非零元素的个数也同时存储。 这种存储的思想实现如下：
LOC(aij)=LOC(a c1 c2)+( (i- c1) *( d2 - c2 + 1)+ (j- c2) )*l
同理对于三维数组Amnp，即m×n×p数组，对于数组元素aijk其物理地址为： LOC(aijk)=LOC(a111)+( ( i-1) *n*p+ (j-1)*p +k-1)*l
例如，下列三元组表 ((1,2,12)(1,3,9),(3,1,- 3),(3,6,14),(4,3,24), (5,2,18),(6,1,15),(6,4,-7))
加上(6,7)这一对行、列值便可作为下列矩阵M的另 一种描述。而由上述三元组表的不同表示方法可 引出稀疏矩阵不同的压缩存储方法。
0 12 9 0 0 0 18 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 –7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3 0 12 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 24 0 0 0 0 0 15 18 0 0 0 0 –7 0 0 0 0 0 0 0 -3 0 0 15
LOC(i,j)=LOC(1,1)+[3*(i-1)-1+(j-i+1)]*d =LOC(1,1)+(2i+j-3)*d 上例中，a34对应着sa[7]。 k=2*i+j-3=2*3+4-3=7 a21对应着sa[2] k=2*2+1-3=2 由此，我们称sa[0..3*n-2]是阶三对角带 状矩阵A的压缩存储表示。
5.3.1特殊矩阵
所谓特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一 定规律的矩阵，下面我们讨论几种特殊矩阵的压 缩存储。 1、对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质： aij=aji 0≦i,j≦n-1 则称A为对称矩阵。如图5.1便是一个5阶对称矩阵。 对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要 存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个 对称的元素共享一个存储空间，这样，能节约近 一半的存储空间。不失一般性，我们按“行优先
有了上述的下标交换关系，对于任意给定一组下标 (i，j)，均可在sa[k]中找到矩阵元素aij，反之，对所有 的k=0,1,2,…n(n-1)/2-1，都能确定sa[k]中的元素在矩阵 中的位置(i,j)。由此，称sa[n(n+1)/2]为阶对称矩阵A的 压缩存储，见下图： a11 a21 k=0 1 a22 a31 2 3 …… an1 … n(n-1)/2 … an,n n(n-1)/2-1
5.2 数组的顺序表示和实现
用向量作为数组的一种存储结构，因为内存的地址空间是一维 的，数组的行列固定后，通过一个映象函数，则可根据数组 元素的下标得到它的存储地址。 l 一维数组：按下标顺序分配 l 多维数组：一般有两种存储方式 1．以行为主序（或先行后列）的顺序存放，如BASIC、PASCAL、 COBOL、C等 2．以列为主序（先列后行）的顺序存放，如FORTRAN语言 以行为主序的分配规律是：最右边的下标先变化，即最右下标 从小到大，循环一遍后，右边第二个下标再变，…，从右向 左，最后是左下标。 以列为主序分配的规律恰好相反：最左边的下标先变化，即最 左下标从小到大，循环一遍后，左边第二个下标再变，…， 从左向右，最后是右下标。
设有m×n二维数组Amn，按元素的下标求其地址的计算：
以“ 以行为主序” 的分配为例： 设数组的基址为LOC(a11)，每个数组元素占据l个地址单元，那么aij 的物理地址 可用一线性寻址函数计算： LOC(aij) = LOC(a11) + ( (i-1)*n + j-1 ) * l 在C语言中，数组中每一维的下界定义为0，则：LOC(aij) = LOC(a00) + ( i*n + j)*l 推广到一般的二维数组：A[c1..d1] [c2..d2]，则aij的物理地址计算函数为：
顺序”存储主对角线（包括对角线）以下的元素，其 存储形式如图所示：
1 5 1 3 7 5 1 3 7 0 8 0 0 8 9 2 6 0 2 5 1 0 6 1 3 a11 a21 a 22 a31 a32 a33 ……………….. an1 a n2 a n3 …a nn
图 5.1 对称矩阵
在这个下三角矩阵中，第i行恰有i个元素，元素总 数为： n(n+1)/2 因此，我们可以按图中箭头所指的次序将这些 元素存放在一个向量sa[0..n(n+1)/2-1]中。为了便 于访问对称矩阵A中的元素，我们必须在aij和sa[k]
例：一个2×3二维数组，逻辑结构可以用图 5.2表示。以行为主序的内存映象如图5.3（a） 所示。 分配顺序为：a11 ，a12 ，a13 ，a21 ， a22 ，a23 ; 以列为主序的分配顺序为：a11 ， a21 ，a12 ，a22 ，a13 ，a23 ; 它的内存映象 如图5.3（b）所示。
2、三角矩阵 以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种。 上三角矩阵如图所示，它的下三角（不包括主对角线） 中的元素均为常数。下三角矩阵正好相反，它的主对 角线上方均为常数，如图所示。在大多数情况下， 三角矩阵常数为零。 a11 a12 … a 1 n a11 c … c c a22 … a 2 n a21 a22 … c ………………….. …………….. c c … a nn an1 an2 … ann (a)上三角矩阵 (b)下三角矩阵 图5.2 三角矩阵
推广到一般的三维数组：A[c1..d1] [c2..d2] [c3..d3]，则aijk的物理地址为：
LOC(i,j)=LOC(a c1 c2 c3)+( (i- c1) *( d2 - c2 + 1)* (d3- c3 + 1)+ (j- c2) *( d3- c3 + 1)+(k- c3))*l
a11 a12 a21 a22 a23 a32 … … a nn-1 a nn
K=0 1 2 3 4 5 … … 3n-4 3n-3 数组sa中的元素sa[k]与三对角带状矩阵中的元 素aij存在一一对应关系，在aij之前有i-1行,共有 3*(i-1)-1个非零元素，在第i行，有j-i+1个非零元 素，这样，非零元素aij的地址为：
之间找一个对应关系。 若i≧j，则ai j在下三角形中。 ai j之前的i-1行（从第1 行到第i-1行）一共有1+2+…+(i-1)=i(i-1)/2个元素，在 第i行上， ai j之前恰有j-1个元素（即ai1,ai2,ai3,…,aij-1）， 因此有： k=i*(i-1)/2+j-1 0≦k<n(n+1)/2 若i<j，则aij是在上三角矩阵中。因为aij=aji，所以只要 交换上述对应关系式中的i和j即可得到： k=j*(j-1)/2+i-1 0≦ k<n(n+1)/2
a11 a12 a21 a22 a23 a32 a33 a34 …. ….. …. an-1 n-2 an-1 n-1 an-1 n ann-1 ann
图5.3 对角矩阵
Hale Waihona Puke 对这种矩阵，我们也可按行优序为主序来存储。除 第1行和第n行是2个元素外，每行的非零元素都 要是3个，因此，需存储的元素个数为3n-2。
下三角矩阵的存储和对称矩阵类似，sa[k]和aij对 应关系是： i(i-1)/2+j-1 i≧j k= n(n+1)/2 i<j 3、对角矩阵 对角矩阵中，所有的非零元素集中在以主对角线 为了中心的带状区域中，即除了主对角线和主对 角线相邻两侧的若干条对角线上的元素之外，其 余元素皆为零。下图给出了一个三对角矩阵，