角知识点一：角的概念定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边,如图1中角的顶点是点O，边是射线OA、OB.定义2：角也可以看作是一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所组成的图形。
如图2中，射线起始位置OA称为角的始边，终止位置OB称为角的终边。
要点诠释：（1）射线旋转时经过的平面部分(不包括射线本身)称为角的内部，平面其余部分称为角的外部。
（2）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度有关，角可以度量，可以比较大小，可以参与运算。
（3）角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置，图形的放大或缩小而改变。
知识点二：角的表示方法角的表示方法共有四种。
方法1：角可以用三个大写英文字母表示，如图4－(1)所示，可以表示为∠AOB或∠BOA。
注意：角的顶点对应的字母要写在三个字母的中间。
方法2：角可以用一个大写英文字母表示，如图4－(2)所示，可以表示为∠O。
方法3：角可以用一个阿拉伯数字表示，如图4－(3)所示，可以表示为∠1。
方法4：角可以用一个小写的希腊字母表示，如图4－(4)所示，可以表示为∠α，常用的希腊字母有α，β，γ等。
要点诠释：对方法1，表示角的顶点的字母必须写在中间，角的边上的两个字母写在两边，位置可以颠倒。
对方法2，仅限于在一个顶点处只有一个角时，或者说从某一点引出的只有两条射线时，可以用此法表示。
如图5所示，顶点处有三个角，以点O为端点的有三条射线，就不能用一个大写英文字母来表示，这时一般用三个大写字母表示。
对方法3，用阿拉伯数字表示角时，一定要在图中该角的位置上标出数字，并画上弧线后才可使用此种表示方法。
对方法4，用小写的希腊字母表示时，表示的方法与用阿拉伯数字表示的方法相同，也必须在图中该角的位置上标上字母，并画出弧线，方可使用。
知识点三：角的画法角的画法通常有三种：1、用量角器画出任何给定度数的角。
2、用直尺和圆规画一个角等于已知角。
3、用三角板画30°，45°，60°，90°等特殊角。
这三种画法各有所长。
要点诠释：(1)若画的是某些特殊角，如画30°，45°，60°，90°角等，则直接用三角板即可；若画75°角，则可将三角板30°和45°组合使用。
类似地，特殊角还有120°，105°，135°，150°，15°，165°等。
(2)若画一个角等于已知角，用直尺和圆规比较适合。
(3)若画一个给定度数的角，则用量角器比较适合。
(4)用直尺和圆规画一个角等于已知角属于尺规作图。
五种基本的尺规作图是：①画一个角等于已知角；②画一条线段等于已知线段；③画角的平分线；④画已知直线的垂线；⑤画已知线段的垂直平分线。
知识点四：平角和周角的概念如图3，射线OA绕点O旋转，当终边位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；继续旋转，回到起始位置OA时所成的角叫做周角。
1平角＝180°，1周角＝360°，所以1周角＝2平角＝4直角。
要点诠释：（1）平角与直线、周角与射线是有区别的，不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是周角”。
（2）在今后所说的角，除非特别注明，都是指没有旋转到成为平角时所成的角，即小于平角的角。
知识点五：角的分类大于零度且小于平角的角按照大小分为三类：锐角、直角和钝角，分别为：①直角：平角的一半，叫做直角，1直角＝90°。
②锐角：大于0°而小于直角的角，叫做锐角，即0°＜锐角＜90°。
③钝角：大于直角且小于平角的角，叫做钝角，即90°＜钝角＜180°。
知识点六：角的度量与换算1、角的度量单位是度、分、秒，把1周角等分成360份，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角等分成60份，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角等分成60份，每一份就是1秒的角，记作1″。
2、1周角=360°，1平角=180°，1°＝60′，1′＝60″。
3、以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。
要点诠释：(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时、分钟、秒的换算相同。
(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，1°＝60′，1′＝60″；例如，把18.18°化成度、分、秒表示的形式，首先有0.18°＝0.18×60′＝10.8′，再有0.8′＝0.8×60″＝48″，最后得18.18°＝18°10′48″。
②由度、分、秒的形式化成度(即从低位向高位化)，。
例如，把59°31′30″化成度的形式,首先有30″＝0.5′，再有31.5′＝31.5′÷60＝0.525°，所以59°31′30″= 59.525°。
知识点七：角的比较方法1、度量法如图6，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2。
2、叠合法如果比较∠ABC和∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让BA边和ED边重合，使另一边EF和BC落在BA的同旁，如果EF和BC重合(如图7－(1))，那么∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF＝∠ABC；如果EF落到∠ABC的外部(如图7－(2))，那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC；如果EF落到∠ABC的内部(如图7－(3))，那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC。
要点诠释：(1)在比较角的大小时，除了度量法和叠合法以外，常用的还有中间值法，即让这两个角都与中间值作比较，从而得出大小关系，但要注意中间值的选取一定要恰当。
(2)在度量法中，要注意量角器的正确使用。
(3)在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同一侧。
知识点八：角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，类似地，还有角的三等分线等。
要点诠释：（1）如图8，射线OC把∠AOB分成∠1＝∠2，则射线OC是∠AOB的角平分线。
（2）角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等。
知识点九：余角、补角1、余角、补角概念如果两个角的和等于90°(直角)，那么这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。
如果两个角和等于180°（平角），那么这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
要点诠释：(1)锐角α的余角为90°－α。
(2)一个角α的补角为180°－α。
(3)余角是指两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角。
补角也是如此。
(4)一个角的余角可以不止一个，但是它们的度数是相同的。
补角也是如此。
2、余角、补角的性质等角的补角相等；等角的余角相等。
要点诠释：(1)互为余角的角的性质：一是互为余角的两个角，都是锐角；二是同角(或等角)的余角相等；三是互余的两个角的和是直角。
(2)补角的性质：一个互补的两个角可能是一个为锐角另一个为钝角，也可能都是直角；二是同角(或等角)的补角相等；三是互补的两个角的和为一个平角。
知识点十：方位角在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方向角。
通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向。
通常要先写北或者南，再写偏东或是偏西。
要点诠释：如图9所示，与地面上的方向相同，在平面图上方向为“上北，下南，左西，右东”。
东北表示以正北为角的始边，向东旋转45°时的射线的方向，又叫北偏东45°。
东南为南偏东45°。
西南为南偏西45°。
西北为北偏西45°。
方向角习惯上把南或北写在前，东或西写在后，顺序不要混了。
这类题可用数形结合的方法解决。
注意：(1)北偏东45°(即角平分线)方向也可以说成东北方向；西北方向即北偏西45°；西南方向即南偏西45°；东南方向即南偏东45°。
(2)一般地用角度表示方向时，在哪一点观测就在哪一点重新画出互成直角的南北向直线和东西向直线，这是解决连续观测的关键。
(3)无论观测点选在何处，所作的南北向直线都平行，东西向直线也都平行。
类型一：概念辨析1、下列说法正确的是( )A、两条射线组成的图形叫做角B、角是一条线段绕它的一个端点旋转而成的图形C、有公共端点的两条线段组成的图形叫做角D、角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形思路点拨：角的定义有两种形式。
A中未强调“有公共端点”，所以不对。
B、C中说的是两条线段，也不对，只有D符合要求。
故选D。
答案：D总结升华：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，两个条件缺一不可。
举一反三：[变式1] 下列说法中：①角是由一条直线绕着它的端点旋转而形成的图形；②平角就是一条直线；③1点整到1点20分，分针转过了120°；④大于直角的角为钝角。
正确的有( )A、1个B、2个C、3个D、4个分析：根据角的定义，角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，而不是一条直线绕着它的端点旋转而形成的图形，所以①错。
平角和直线是两个不同的概念，前者是角，后者是线。
直线上没有确定的点作为角的顶点，也没有角的两边，因此不能简单地说“平角是直线”，当然也不是说“直线是平角”，所以②也不对。
另外，钝角的概念中必须加上“小于平角”，所以④也不对。
只有③是正确的。
答案：A。
[变式2]如图10，O是直线AB上一点，小明说：“因为∠1、∠2、∠3三个角，所以它们互为补角。
”你认为这种说法对吗？为什么？解析：忽略了互余、互补的前提是两个角的关系，而∠1、∠2、∠3是三个角，不符合互补的定义。
答案：不对，因为互补是两个角的关系。
类型二：角度制单位换算和计算2、(1)把26.29°转化为用度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″转化成用度表示的形式。
思路点拨：此类型的题目主要是逐步把度的小数部分化成分，把分的小数部分化成秒。
度、分、秒之间的换算是60进制。
解析：(1)26.29°＝26°＋0.29°＝26°＋0.29×60′＝26°＋17.4′＝26°＋17′＋0.4×60″＝26°17′＋24″＝26°17′24″。