-锐角三角函数难题一、选择题（共12小题）1．（2011•怀柔区二模）如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5 B．C．1D．2．（2009•石景山区一模）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=2AD，CD=10，，则BC边上的高AE的长为（）A．4.5 B．6C．8D．93．（2013•模拟）如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm24．（2010•）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（）A．B．C．D．5．（2009•）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（）A．16 B．18 C．6D．76．（2010•凉山州）已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB=n，当∠B是最小的角时，n 的取值围是（）A．B．C．D．7．（2008•资阳）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E=30°，D为AB的中点，AC=1，若△DEC绕点D顺时针旋转，使ED，CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M，N．则当△DMN为等边三角形时，AM的值为（）A．B．C．D．18．（2010•）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（）A．7B．C．D．99．（2008•枣庄）如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）A．cm B．6cm C．8cm D．10cm 10．（2007•）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A．24m B．22m C．20m D．18m 11．（2006•潍坊）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（）A．2B．C．D．112．（2008•）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．B．C．D．二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）13．（2009•番禺区一模）如图，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋楼高为_________（精确到0.1 m）．14．（2010•浦东新区二模）已知在△ABC中，AB=AC=10，，中线BM与CN相交于点G，那么点A与点G 之间的距离等于_________．15．（2011•潍城区模拟）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2．则∠1+∠2=_________．16．（2011•如东县模拟）在网格中，△ABC如图放置，则sinB的值为_________．17．（2012•利辛县二模）根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的_________倍．（结果保留两个有效数字）．18．（2010•罗湖区模拟）如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是_________．19．（2011•南汇区模拟）平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠B=60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是_________．20．（2011•）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为_________．21．（2009•）“爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于_________．22．（2010•）水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB 为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为_________．23．（2009•）如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…．则：（1）S1=_________；（2）通过计算可得S2009=_________．24．（2010•）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为_________ m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）25．（2014•）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如图2，若∠ABC=30°，B1B=AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）26．（2014•）在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为（20﹣20）cm．（1）求AB的长；（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014秒，交点又在什么位置？请说明理由．27．（2013•三模）计算：．28．（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）29．（2013•犍为县二模）由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD．30．（2013•）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．【考点训练】锐角三角函数-2参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）1．（2011•怀柔区二模）如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5 B．C．1D．考点：解直角三角形；矩形的性质．专题：综合题．分析：过F作FG⊥AC于G，然后连接AF，根据△ACF和△ABC底和高的比例可得出△ACF的面积，然后根据S ACF=AC×FG可求出FG的长，继而得出了答案．解答：解：过F作FG⊥AC于G，连接AF，可得：△ACF和△ABC底之比为1：3；高之比为1：1；∴△ACF和△ABC的面积之比为1：3，又∵AB=2，BC=3，∴S△ABC=3，S△ACF=1，又∵S△ACF=AC×FG，∴FG=．故选D．点评：本题考查了解直角三角形的知识，难度较大，首先要判断出FG可表示最短距离，然后解答本题关键的一步是利用底与高的关系求出△AFC的面积．2．（2009•石景山区一模）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=2AD，CD=10，，则BC边上的高AE的长为（）A．4.5 B．6C．8D．9考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：作DF⊥BC于点F．构造比例线段，然后结合三角函数的定义解答．解答：解：作DF⊥BC于点F，则DF∥AE．∴DF：AE=BD：BA=BD：（AD+BD）=2：3．∵CD=10，∴sin∠BCD=DF：CD=3：5，∴DF=6，∴AE=•DF==9．故选D．点评：本题通过作出了辅助线，得到DF∥AE，利用等比例线段的性质和锐角三角函数的概念求解的．3．（2013•模拟）如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2考点：解直角三角形的应用．分析：由题可知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB，过C作CD⊥AB，垂足为D，根据三角函数定义求出AC，AB，然后就可以求出△ABC面积．解答：解：如图，由题可知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB．作CD⊥AB，垂足为D，则CD=1．∵sin∠A=，∴==AB，∴S△ABC=×AB×CD=，∴折叠后重叠部分的面积为cm2．故选D．点评：此题考查了正弦的概念和应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到直角三角形中．4．（2010•）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（）A．B．C．D．考点：解直角三角形．专题：压轴题．分析：过E点作CD的平行线交AD于F，设AE=2a，则CE=3a．tan∠C=，EF和DF分别可用a的代数式来表达，即可得出tan∠ADE的值．解答：解：过E点作CD的平行线交AD于F．如图：∵AD是等腰△ABC底边上的高，tan∠B=，∴EF⊥AD，tan∠C=．设AE=2a，∵AE：CE=2：3，∴CE=3a，AC=5a．∵tan∠C=，∴sin∠C=，cos∠C=．在直角△ADC中，AD=ACsin∠C=5a×=3a．在直角△AFE中，AF=AE×sin∠AEF=AE×sin∠C=2a×=．EF=AE×cos∠AEF=AE×cos∠C=2a×=．在直角△DFE中，tan∠ADE=．故选B．点评：考查等腰三角形的性质和三角函数的性质．5．（2009•）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（）A．16 B．18 C．6D．7考点：解直角三角形．专题：计算题；压轴题．分析：过点E作底边BC上的高ED，由△BCE的面积，可求ED的长；在△BEF中，根据三角形面积求法，可求BF的长，进而求出CF的长．再根据S△CEF=FC×ED求解即可．解答：解：过点E作ED⊥BC交BC于点D．设EF的长为x，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，∴BC=16，BE==，S△BCE=S△ABC=×AB×AC=96，∵S△BCE=BC×ED，∴ED=．在△BEF中，S△BEF=BE×EF=BF×ED，即x=×，解得：x=，BF==，∴CF=BC﹣BF=，∴S△CEF=CF×ED=××=16．故选A．点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质进行逻辑推理能力和运算能力．6．（2010•凉山州）已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB=n，当∠B是最小的角时，n 的取值围是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的增减性．专题：压轴题．分析：根据三角形的角和定理，易知直角三角形的最小角不大于45°．再根据sin45°=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．解答：解：根据题意，知0°＜∠B＜45°．又sin45°=，∴0＜n＜．故选A．点评：此题综合运用了三角形的角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律．7．（2008•资阳）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E=30°，D为AB的中点，AC=1，若△DEC绕点D顺时针旋转，使ED，CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M，N．则当△DMN为等边三角形时，AM的值为（）A．B．C．D．1考点：解直角三角形；全等三角形的性质．专题：压轴题．分析：要求AM的长，可以考虑在直角△ACM中利用勾股定理求解，这样就转化为求CM的长．解答：解：在Rt△ABC中，∠E=30°，D为AB的中点，则△BCD中，BC=，∠CDB=120°，CD=BD，过点D作DP⊥BC于P点，则PC=，DP=PC•tan60°=．在Rt△DMP中，MP=DP•ta n30°=，∴CM=PC﹣MP=．∵在直角△ACM中，∠CAM=30°．∴AM=2CM=．故选B．点评：解决本题的关键是能够正确理解题意，正确作出旋转后的图形，把求线段长的问题转化为三角函数或勾股定理的容．8．（2010•）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（）A．7B．C．D．9考点：解直角三角形；全等三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：综合题；压轴题．分析：作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7．解答：解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD∴DF=DG，弧AD=弧BD，∴DA=DB．∵∠AFD=∠BGD=90°，∴△AFD≌△BGD，∴AF=BG．易证△CDF≌△CDG，∴CF=CG．∵AC=6，BC=8，∴AF=1，（也可以：设AF=BG=X，BC=8，AC=6，得8﹣x=6+x，解x=1）∴CF=7，∵△CDF是等腰直角三角形，（这里由CFDG是正方形也可得）．∴CD=7．故选B．点评：本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大．9．（2008•枣庄）如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）A．cm B．6cm C．8cm D．10cm考点：解直角三角形的应用；圆柱的计算．专题：压轴题．分析：首先根据液体的体积相等可求得液体在乙中的高度．在直角三角形中，求得直角边为4cm，斜边是8cm，可以求出另一直角边就是12cm，然后根据三角形的面积可知直角三角形的斜边上的高是6cm，所以可求出乙杯中的液面与图中点P的距离．解答：解：甲液体的体积等于液体在乙中的体积．设乙杯中水深为x，则π×12×16=π×48×x，解得x=4．在直角△ABP中，已知AP=4cm，AB=8cm，∴BP=12cm．根据三角形的面积公式可知直角△ABP斜边上的高是6cm，所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16﹣6﹣4=6（cm）．故选B．点评：本题是一道圆柱与解直角三角形的综合题，要求乙杯中的液面与图中点P的距离，就要求直角三角形中的高和乙杯中的液体的高度．10．（2007•）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A．24m B．22m C．20m D．18m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：压轴题．分析：过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB 长，把它们相加即可．解答：解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．由题意得：．（2分）∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．（1分）∴GF=BD=CD=6m．（1分）又∵．（2分）∴AG=1.6×6=9.6（m）．（1分）∴AB=14.4+9.6=24（m）．（1分）答：铁塔的高度为24m．故选A．点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．11．（2006•潍坊）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（）A．2B．C．D．1考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．解答：解：原式=+﹣=．故选：C．点评：本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，主要考查学生的记忆能力和计算能力．12．（2008•）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．分析：折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．解答：解：根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8﹣x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8﹣x）2=62+x2解得x=，∴tan∠CBE===．故选C．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）13．（2009•番禺区一模）如图，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋楼高为207.8m（精确到0.1 m）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：计算题．分析：过点A作AD⊥BC，构建两个直角三角形，利用30°、60°角的正切函数分别求出CD和BD，求和即可．解答：解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ADC中，有CD=ADtan60°=AD=90，在Rt△ABD中，有BD=ADtan30°=AD=30．故这栋楼高BC为90+30=120≈207.8（m）．故答案为：207.8m．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并解直角三角形．14．（2010•浦东新区二模）已知在△ABC中，AB=AC=10，，中线BM与CN相交于点G，那么点A与点G 之间的距离等于4．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．分析：根据角的余弦值与三角形边的关系，可先求出AE、EC的长．再根据等腰三角形的性质及中位线定理分别求出AF、FG的长，从而求出点A与点G之间的距离．解答：解：连接MN，AG，分别交MN、BC于F、E两点．∵AB=AC=10，，中线BM与CN相交于点G，∴CE=BE=8，AE=6，∴BC=16，∴MN=BC=8，MN∥BC，∴AF=AE=3，∴EF=3，FG=EG，∴FG=1，∴AG=AF+FG=4．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．同时考查了等腰三角形的性质及中位线定理，难度较大．15．（2011•潍城区模拟）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2．则∠1+∠2=45°．考点：特殊角的三角函数值．专题：网格型．分析：根据图形，先将角进行转化，再根据勾股定理的逆定理，求得∠ACB=90°，由等腰三角形的性质，推得∠1+∠2=45°．解答：解：连接AC，BC．根据勾股定理，AC=BC=，AB=．∵（）2+（）2=（）2，∴∠ACB=90°，∠CAB=45°．∵AD∥CF，AD=CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AC∥DF，∴∠2=∠DAC（两直线平行，同位角相等），在Rt△ABD中，∠1+∠DAB=90°（直角三角形中的两个锐角互余）；又∵∠DAB=∠DAC+∠CAB，∴∠1+∠CAB+∠DAC=90°，∴∠1+∠DAC=45°，∴∠1+∠2=∠1+∠DAC=45°．故答案为：45°．点评：本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理．16．（2011•如东县模拟）在网格中，△ABC如图放置，则sinB的值为．考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：本题通过作辅助线，连接A和BC与网格的交点求解，可使问题变得简单．解答：解：连接A和BC与网格的交点D，设一个小网的边长a，则AB=a，BD=a，AD=a，∵AB2=BD2+AD2，∴可证△ABD为等腰直角三角形，∴sinB的值为．故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的时候，通过作辅助线可使问题变得简单．17．（2012•利辛县二模）根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的2.3倍．（结果保留两个有效数字）．考点：解直角三角形的应用；生活中的平移现象．分析：根据题意：设光速为tm/s，则一秒，m与l移动的距离为0.2tm，根据平行四边形的性质和三角函数的定义，可求得A移动的距离约为2.3tm；故交点A的移动速度是光速的2.3倍．解答：解：如图，根据题意设光速为tm/s，则一秒，m与l移动的距离为0.2tm，过A'作CA'⊥AC于A'，在Rt△ACA'中，∠A'AC1=10°÷2=5°，A'C=0.2tm，∴AA'=CA'÷sin5°≈2.3，∴A移动的距离约为2.3tm；故交点A的移动速度是光速的2.3倍．点评：本题考查图形的平移变换．注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行．18．（2010•罗湖区模拟）如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是．考点：锐角三角函数的定义．专题：压轴题；网格型．分析：连接AB，就可以根据勾股定理求出OA，OB，AB的长度，根据余弦定理就可以求出cos∠AOB，根据同角三角函数的关系，就可以求出，∠AOB的正切值．解答：解：连接AB，根据勾股定理可以得到OA=OB=，AB=根据余弦定理可以得到：OA2+OB2﹣2OA•OB•cos∠AOB=AB2即：10+10﹣20cos∠AOB=8，解得cos∠AOB=．∴∠AOB的正切值．点评：本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．在网格中，首先设法形成直角三角形，再根据三角函数的定义求解．19．（2011•南汇区模拟）平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠B=60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是．考点：解直角三角形；全等三角形的判定；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据题意可画出草图解题，由折叠特点可知△AFE≌△ABE，则∠F=∠B=60°，设CD与AF相交于点P，根据平行四边形的性质推出△CFP为等边三角形，△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是△AEF与△CFP的面积之差．解答：解：根据沿直线折叠特点，△AFE≌△ABE，∴∠F=∠B=60°，在△ABE中，∠B=60°，AB=4，则AE=2，BE=2，S△AFE=S△ABE=×2×2=2，CF=EF﹣EC=BE﹣（BC﹣BE）=1，∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，∴∠PCF=∠B=60°=∠F，∴△CFP为等边三角形，底边CF=EF﹣EC=BE﹣（BC﹣BE）=1，高为，∴S△CFP=，∴S重叠=S△AFE﹣S△CFP=2﹣=．点评：已知折叠问题就是已知图形的全等，考查学生对全等三角形性质的应用及三角形面积的求法．20．（2011•）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为5．考点：解直角三角形的应用．专题：计算题；压轴题．分析：延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A 点坐标，运用勾股定理求解．解答：解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键．21．（2009•）“爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于．考点：解直角三角形．专题：压轴题．分析：由题意知小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2=102，解方程求得x=6，从而求出较长边的长度．运用正切函数定义求解．解答：解：由题意知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2=102，解得，x=6．∴较长边的边长为x+2=8．∴tanα=短边：长边=6：8=．点评：此题首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和锐角三角函数的概念解题．22．（2010•）水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB 为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为．考点：锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：本题使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为2π．解答：解：其展开图如图所示．∵AC∥BF，∴∠CAE=∠ABE=α，∵水管直径为2，∴水管的周长为2π，∴cos∠α=．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．23．（2009•）如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…．则：（1）S1=；（2）通过计算可得S2009=．考点：解直角三角形．专题：计算题；压轴题；规律型．分析：（1）分析知奇数的通式为：2n﹣1（n为正整数），设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则可以表达出S n的表达式，将每个梯形的上底和下底距点O的长代入，求解即可；（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数．解答：解：（1）设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则S n=b×btan∠AOB﹣a×atan∠AOB=（b2﹣a2），又∵梯形1距离点O的距离a=1，b=3，∴S1=（32﹣12）=；（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数，∴第2009个梯形的两边长分别为：a=2×（2008×2+1）﹣1=8033，b=2×（2008×2+1）+1=8035，故S2009=（80352﹣80332）=5356．点评：本题考查学生分析、探究问题及运用规律解决问题的能力．有一定难度．24．（2010•）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为8.7m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；近似数和有效数字．专题：计算题；压轴题．分析：先根据CD的长以及坡角求出落在斜坡上的影长在地面上的实际长度，即可知AB的总影长，然后根据1 m 杆的影子长为2 m，求解电线杆的高度．解答：解：作DE⊥BC于E．则电线杆的高度分3部分进行求解．BC对应的电线杆的高度：根据同一时刻物高与影长成比例，得10÷2=5；在Rt△CDE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得DE=2．再根据勾股定理，得CE=2；因为DE⊥BC，则DE对应的电线杆高度和DE相等，CE对应的电线杆高度同样根据：同一时刻物高与影长成比例，是2÷2=．故电线杆的高度是5+2+≈8.7．点评：注意：影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于物体时，根据同一时刻物高与影长成比例进行计算．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）25．（2014•）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如图2，若∠ABC=30°，B1B=AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）考点：解直角三角形的应用；勾股定理．专题：几何图形问题；转化思想．分析：（1）在Rt△ABC和Rt△AB1C中，利用三角函数，用AC分别表示出BC和B1C，根据B1B=B1C﹣BC，列方程求得AC的长；（2）设B1B=AB=x，在Rt△ABC中，利用三角函数用x表示出AC和BC的长，则B1C即可求得，根据正切的定义即可求解；（3）按照（1）（2）的规律，画出含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形，如答图3所示，利用勾股定理、等腰三角形的性质及正切的定义，求出tan7.5°的值．解答：解：（1）在Rt△ABC中，tan∠ABC=，则BC==AC，同理，B1C=，∵B1B=B1C﹣BC，∴﹣AC=30，解得：AC≈39（米）；（2）∵B1B=AB，∴∠B1=∠B1AB=∠ABC=15°，设B1B=AB=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=AB=x，BC=x，。