1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有({})U A x φ⋂-≠ 6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A =X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A =X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A =X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A =X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f 是一个商映射. 20、设,X Y是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个闭映射22若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个不连通空间23若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集 26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ，使得A B X ⋃=则称X 是一个不连通空间30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为可遗传性质33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个稠密子集34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个Lindel Öff 空间36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为对于闭子空间可遗传性质38、设X 是一个拓扑空间，如果X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点则称X 是一个1T 空间;40设X 是一个拓扑空间若X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交则称X 是一个2T 空间。

41、正则的1T 空间称为3T 空间；42、正规的1T 空间称为4T 空间43、完全正则的1T 空间称为 3.5T 空间或Tychonoff 空间三1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(对)：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑(错)：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（对）：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ=（对）：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ=（错）：设{}A y =,则对于任,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X =（对）：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ 对）：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间(对)：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（对）:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（对）：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（对）：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.(错)：因为{1,3}是X 的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间 。

13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.(错)：因为{2,3}是X 的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间.14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.(错)：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.(错)：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．故(,)X T 是4T 空间.16、3T 空间一定是2T 空间.（对）：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.（对）：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，这说明X 是正则空间，因此X 是3T 空间. 四． 1．同胚映射：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:fY X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4．拓扑空间(,)T X 的基 ：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.5．闭包：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.6、序列：设X 是一个拓扑空间，每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列.7、导集：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.9、连通子集 ：设Y 是拓扑空间X 的一个子集如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间则称Y 是X 的一个连通子集.10、不连通子集设Y 是拓扑空间X 的一个子集如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间则称Y 是X 的一个不连通子集. 11、1 A 空间：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间. 12、2 A 空间：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为2 A 空间.13、可分空间：如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间.14、0T 空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间.15、1T 空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是1T 空间.16、2T 空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X 是2T空间.17、正则空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间. 18、正规空间：设X 是一个拓扑空间如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域它们互不相交则称X 是正规空间.19、完全正则空间：设X 是一个拓扑空间，如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =，则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.五2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射. 答：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.答：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集. 6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T. 答：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.答：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.13、试说明实数空间R 是可分空间.答：因为Q 是可数集，且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交，因此R Q =，故实数空间R 是可分空间.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.答：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.答：设A 是X 的任何一个子集，若A 是空集，则()d A φ=，从而A 的导集是闭集.下设A 不是空集，则对(())x d A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-⋂=，由于X 是1T 空间，从而{}U x -是开集，故{}(())U x d A '-⊂,于是(())U d A '⊂,所以(())d A '是它每一点的邻域，故(())d A '是开集，因此()d A 是闭集.六2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ；由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂。