/ 2 kx
/2
保守力与势能的关系
势能等于保守力的积分，保守力等于势能梯度的负值。
E p (r )

EP 0
r
F保 d r
p
E p E p E p F ( i j k ) E x y z 6 . 功率 P F v M
f
x
v 2
m
dv dt
m
dv dx dx dt
mv
dv dx

dx
0

vB 2
2 mdv ,
vB
x 2m (
vB 2
v B ) 14 ( m )
法二：动量定理
mv
C
mv
B


fdt
C

v 2
x
dt

0
dx 2

x 2
x 2 ( mv
运动学小结：
一.运动学第一类问题 例：已知质点质量为m，其运动函数为：
r x i y j ( SI )
如何求：轨道方程、位移、平均速度、速度、切向 加速度、法向加速度、加速度、合外力。 注意矢量标量的不同。 二.运动学第二类问题 例：已知质点加速度a或角加速度β， 如何求：速度、角速度、切向加速度、法向加速度、 位移、角位移。 1.匀加速直线运动和匀加速圆周运动直接代公式：
f 12 d r12 f 21 d r 21
4. 一对作用力反作用力的功
5.保守力 的功

F保 d r 0
几种常见的保守力的功
重力的功 引力的功 弹力的功 A m gh A GMm A kx
2 0 0
m gh / r GMm
2
/ r0
三、运动的相对性 v pD v PA v AB v BC v CD
交换下标速度改变符号
v AB v BA
位移、加速度同样适用 牛顿运动定律小结 1.宏观、低速、惯性系 2.非惯性系的问题要用加速度变换，变换到惯性系：
F m am惯 am 惯 am 非 a非 惯 F F 惯 m a m 非惯 F惯 m a 非 惯
B
mv
) 14 ( m )
法三：动能定理

fdx
1 2
mv
2 C

1 2
2
mv
2 B
概念没错，但积分无法做出。用动 能定理微分形式。（注意A≠fs）
v 2 dx mvdv
fdx d (
x
1 2
vC
mv
)

0
dx 2

m dv
vB

x 2
mv
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ mv
B
x 14 m
弹性势能＋重力势能
E p( y)
1 2
ky
2
势能零点选在平衡位置处。
三、动能定理 功能原理 机械能守恒定律 质点系的动能定理: 其中：
A 保内 E
p1
A 外 A内 E k 2 E k 1
E
p2
功能原理：
A 外 A 非保内 E 2 E 1
只有保守内力做功，系统机械能守恒。
二、势能 引力势能
Mm E (r ) G r
势能零点选在无穷远处。
若将引力势能零点选在地球表面，地球表面附近h 处的引力势能的表达式即mgh。
重力势能 弹性势能
E ( h ) mgh
E (x) 1 2 kx
2
势能零点选在h＝0处。 势能零点选在弹簧原长处， x为偏离原长的位移。
若将平衡位置选为重力势能和弹性势能的零点，y为偏离平衡 位置的位移，计算系统总势能将很方便。
2 . 变力的功
b b
dA F d r Fds cos
(1 ) A
(2) A
3 .合力的功


a
b
Fds cos

a
F t ds
a
( F x dx F y dy F z dz )
A

b
a
( F 1 F 2 ) d r A 1 A 2
2、变加速度使用积分方法。 d v a dt d r v dt
必须投影到各坐标 轴上后再积分！
d

dt
d
dv dt

dt
dv dx dx dt v dv dx
1.变量置换法： a

2.分离变量法：等式两边分别积分时，每边只 能有一个变量。 3.积分下限对应初始条件，上限对应任意中间 状态或指定的末状态。
dv dt
或加惯性力： 3.变力问题
Fx m
（1）根据题意变量置换 （2）分离变量积分
p mv
I
t2
动量和角动量小结
L r p r mv

t1
F dt p 2 p 1
t

t2 t 10
M dt L 2 L 1
t
冲量=
t0
F dt
冲量矩=
t0
M dt
Fx
mv
x2
mv t
x1
质点所受合外力矩为零， 质点角动量守恒。
零，
合外力在某方向分量为 则该方向动量守恒。
质点在有心力作用下运 动，质点对该力心的角 动量守恒。
功和能小结
一、功
1. 恒力的功 A F r cos F r
例：如图，质量为2kg的物体由A点沿1/4的光滑圆弧轨 道静止滑下，轨道半径为2.5m，到达B点后物体沿水 平作直线运动，在水平面上物体所受的阻力f与速率成 正比，且f=-v/2，求物体在水平面上滑行多远时其速率 降为B点速率的一半。
解：
vB 2 gR 7 ( m / s )
法一：牛顿运动定律，变量置换， 积分：