三、解答题
26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交
椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
(1)当直线PA平分线段MN求k的值；
(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意k>0，求证：PA! PB
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分.
解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标
原点,所以
(2)直线PA的方程
解得
于是直线AC的斜率为
( 3)解法一：
将直线PA的方程代入
则
故直线AB的斜率为
其方程为
解得.
于是直线PB的斜率
因此
解法二：设.
设直线PB, AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而
因此
28.
(北京理19)
已知椭圆•过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A, B两点. (I )求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(II )将表示为m的函数，并求的最大值•
(19)(共14 分)
解：(I)由已知得
所以
所以椭圆G的焦点坐标为
离心率为
(n)由题意知，•
当时,切线l 的方程,点A、 B 的坐标分别为
此时
当m=－ 1 时，同理可得当时，设切线l 的方程为由
设A、B 两点的坐标分别为，则
又由l 与圆
所以
由于当时，
所以.
因为且当时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2.
32. (湖南理21)
如图7椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。
(I)求C1, C2的方程；
(H)设C2与y轴的焦点为M过坐标原点o的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1 相交与
D,E．
(i )证明：MDL ME;
(ii )记厶MAB,A MDE勺面积分别是.问：是否存在直线I,使得？请说明理由。
解：(I)由题意知
故C1, C2的方程分别为
(H) (i )由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线I的方程为. 由得
设是上述方程的两个实根,于是
又点M的坐标为(0,—1),所以
故MAL MB 即MDL ME.
(ii )设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为.
又直线MB的斜率为，同理可得点 B 的坐标为于是
由得
解得
则点D的坐标为
又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是.
因此
由题意知，
又由点A、 B 的坐标可知，故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为
34. (全国大纲理21)
已知0为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B 两点，点P
满足
(I)证明：点P在C上；
(n)设点P关于点O的对称点为Q证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
解：
( I ) F ( 0，1)，的方程为，
代入并化简得
....... 2分
设
由题意得
所以点P 的坐标为
经验证，点P 的坐标为满足方程
故点P在椭圆C上。
...... 6分
( II )由和题设知，
PQ的垂直平分线的方程为
①
设AB的中点为M贝V, AB的垂直平分线为的方程为
②
由①、②得的交点为。
....... 9分
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ| , |NA|=|NB| ,
所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ| ，
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 .............. 12分
36. (山东理22)
已知动直线与椭圆C:交于P、Q两不同点，且△ OPQ的面积=,其中O为坐标原点
(I)证明和均为定值；
(n)设线段PQ的中点为M求的最大值；
(川)椭圆C上是否存在点D,E,G，使得？若存在，判断△ DEG的形状；若不存在，请说明理由.
(I )解：(1)当直线的斜率不存在时，P, Q两点关于x轴对称，
所以因为在椭圆上,
因此①
又因为
所以②
由①、②得
此时
( 2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为
由题意知m将其代入，得
其中
即...... (*)
又
所以
因为点0到直线的距离为
所以
又整理得且符合( *)式，
此时
综上所述，结论成立。
( II )解法一：
( 1 )当直线的斜率存在时，
由(I )知因
此
(2)当直线的斜率存在时，由(I )知
所以
所以,当且仅当时,等号成立.
综合(1) (2)得|0M| • |PQ|的最大值为解法二：
因为
所以
即当且仅当时等号成立。
因此|0M| • |PQ|的最大值为
(III )椭圆C上不存在三点D, E, G使得证明：假设存在，
由(I )得
因此D, E, G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾,
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D, E, G.
40.(天津理18)在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点.已知△为等腰三角形．
(I)求椭圆的离心率；
(n)设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想, 考查解决问题能力与运算能力. 满分13 分.
( I )解：设由题意,可得
即
整理得(舍) ,
或所以
(II )解：由( I )知可得椭圆方程为直线PF2方程为
A, B两点的坐标满足方程组
消去y 并整理,得
解得得方程组的解
不妨设
设点M的坐标为，
由
于是
由
即,
化简得
将
所以
因此，点M的轨迹方程是
42. (重庆理20)如题( 20)图,椭圆的中心为原点,离心率,一条准线的方程为.
(I)求该椭圆的标准方程；
(n) 设动点满足：,其中是椭圆上的点, 直线与的斜率之积为, 问：是否存在两个定点, 使得为定值？若存在,求的坐标；若不存在,说明理由.
解：( I )由解得,故椭圆的标准方程为
II ）设，则由得
因为点M，N 在椭圆上，所以
故
设分别为直线OM ON的斜率，由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1, F2,则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为
定值，又因，因此两焦点的坐标为。