本 章 目 录
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
4.1 态的表象
7
The representation of the states
4.2 算符的矩阵表示
24
Matrix representation of operators
0
2
0
0
0
a2
(t
)
F (a1*(t),
, an*(t)
)0
0
0 0
0
0
n
0
0
an
(t
)
0 0 0 0
F n an (t) 2
n
7
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续4）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
求出本征值
0
i
(i 1, 2, )
出将a每i1(个t), ai i值2(分t),别代,入即矩得阵本方征程函（数1）或（2），求
a i1
ui
a
i2
(i 1, 2,
)
这样变解微分方程 为解代数方程。
10
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续7）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
在 Fˆ 自身表象中：Fˆun(x) nun(x)
Fmn um* (x)Fˆun(x)dx um* (x)nun (x)dx nm n
1 0 0 0 0 a1(t)
3. 本征方程
Fˆ (x, i ) (x, t) (x, t)
x
在Q表象中，其矩阵形式为：
F11 F12
F1m
F21
F22
F2m
Fn1 Fn2 Fn n
a1(t) a1(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
a2
(t
)
a2
(t
)
（1）
am (t) an (t)
F （续7）
m1
行矩阵
方矩阵
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F1n a1(t)
F1n
a
2
(t)
Fmn a n (t)
列矩阵
F †F
6
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续3）
m
am (t)
um (x)Fˆunn(x)dx an(t)
nm
am (t)Fmnan (t)
nm
其中 Fmn um (x)Fˆun (x)dx 为算符 Fˆ 的矩阵元 5
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续2）
用矩阵表示为
F a*1(t),
, a*m (t)
F11 F12
F21
F12
4.3 量子力学公式的矩阵表示 32
Matrix representation of formula for quantum mechanics
4.4 幺正变换
48
Unitary transformation
4.5 狄拉克符号
58
Dirac symbols
4.6 线性谐振子与占有数表象 68
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter.4 态和力学量的表象
The representation for the states and dynamical variables
1
引言（续 2）
(x, t) an (t)un (x)
n
(, ) *(x, t) (x, t)dx
(, ) bn*(t)an (t)
n
(x, t) bn (t)un (x)
n
a1
t
矩阵 (, ) (b1*(t)
表示
bn* (t )
)
a
n
t
†
3
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
归一化条件：
*(x, t) (x, t)dx 1
a 1 t
a 1t a n t a n t 1
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
an (t) 2 1
n1
† 1
4
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
移项得：
8
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续5）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F11 F1 2 F2 1 F2 2
Fn 1
Fn 2
F1 m F2 m
Fn n
a 1(t) a 2(t)
Linear oscillator and occupation number
representation
2
4.3 量子力学公式的矩阵表示
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
1．内积与归一化条件 内积：
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
2. 期望值（平均值）公式
任意态 x,t an tun x
n1
F *(x, t)Fˆ (x, i
) (x, t)dx
x
am* (t)um* (x)Fˆ an (t)un(x)dx
例： 在 Lˆ2和 Lˆz 的共同表象中，l=1的子空间：
Lˆ2和 Lˆz 的共同本征函数系 Y11,Y10 ,Y11 ，构成
0
a
m
(t)
（2）
此式即为线性齐次方程组：
(Fmn mn ) an (t) 0 （m = 1，2，3……） n
非零解的条件是系数行列式等于0，即久期方程：
9
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续6）
F11 F12
F1 n
F2 1 F2 2
F2 n
Fn 1 Fn 2
Fn n
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