人大附中高一年级期中统一练习数学2019.04学校班级姓名成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）sin 30cos15cos30sin15︒︒+︒︒等于()（A ）12（B ）22（C ）cos15︒（D ）sin15︒（2）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（）（A ）2（B ）4（C ）6（D ）12（3）在ABC △中，1a =，2c =，30A ∠=，则C ∠等于()（A ）45（B ）60（C ）90（D ）120（4）已知直线m 和平面,αβ，则下列四个命题中正确的是（）（A ）若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥（B ）若m α ，m β ，则αβ （C ）若αβ ，m α ，则m β （D ）若αβ ，m α⊥，则m β⊥（5）如图，正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACB 和平面1ACD 分别截去三棱锥1B ACB -和三棱锥1D ACD -后，得到一个n 面体，则这个n 面体的左视图和n 值为（）（A ）6（B ）6（C ）7（D ）7（6）已知π0,(,π)2αββ<<∈，1sin 2α=，4sin 5β=，则cos()αβ-等于（）（A ）43310-（B ）43310+（C ）43310--（D ）33410-（7）已知球O 的半径为1，,A B 是该球面上的两点，且线段1AB =，点P 是该球面上的一个动点（不与,A B 重合），则APB ∠的最小值与最大值分别是（）（A ）π5π,66（B ）ππ,42（C ）π3π,44（D ）π2π,33（8）由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ 是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是（）（A ）BJ ⊥平面ADJ （B ）平面BCJ 平面EAD （C ）平面ECB ⊥平面EAD （D ）BE ⊥AJ二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为.（10）在ABC △中，sin sin ,3B C a c ==，则B ∠=______.（11）已知正方形ABCD 的边长为1，将ADC △沿对角线AC 折起，若折叠后平面ACD ⊥平面ACB ，则此时点,B D 之间的距离是.（12）已知π,(0,)2αβ∈，11tan ,tan 32αβ==，则αβ+=.（13）在ABC △中，4c =，30B ∠=︒，请给出一个b 的值，使得此三角形有两解，则b的一个值是.（14）如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：.①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③存在唯一的点E ，使得截面四边形F BED 1的周长取得最小值；④存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG 平面1EBD ，也存在无数个点E ，对棱AD 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交.其中真命题的是________．（填出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题共11分）已知()2cos (sin )f x x x x =（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间;（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,2上的取值范围.(16)（本小题共11分）在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，2AD =,AC =,60ADC ∠=︒.（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若△ABD 的面积为32，求sin BAC ∠的值.(17)（本小题共12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形.（Ⅰ）求证：//AD PBC 平面；（Ⅱ）若PB PD =，求证：BD PAC ⊥平面；（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分4分，第（2）问满分5分）①,E F 分别是,AB PD 上的点，若//EF PBC 平面,2AE EB =，求PFPD的值.②若60DAB ∠=︒，PAD ABCD ⊥平面平面，PB PD ⊥，判断△PAD 是否为等腰三角形？并说明理由.(18)（本小题共10分）已知非常数函数()f x 的定义域为R ，如果存在正数T ，使得x ∀∈R ，都有()()f x T Tf x +=恒成立，则称函数()f x 具有性质T .（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;11()21f x x =-；②2()cos(2π1)f x x =+.（Ⅱ）若函数()sin()(0)f x x ωφω=+>具有性质T ，求ω的最小值;（Ⅲ）设函数()g x 具有性质T ，且存在0M >，使得x ∀∈R ，都有()g x M <成立，求证：()g x 是周期函数.附加题：（本题满分5分。

所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为()122311112πk k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ --∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1,2,,i k = ，3k ≥）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ,平面23Q PQ , ,平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面.（Ⅰ）任取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲率为______；（Ⅱ）如图1，已知长方体1111A B C D ABCD -，1AB BC ==，12AA =，点P 为底面1111A B C D 内的一个动点，则四棱锥P ABCD -在点P 处的离散曲率的最小值为______；图1图2（Ⅲ）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格.区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是_______.（填写“区域α”或“区域β”）人大附中2018~2019学年度第二学期期中高一年级数学练习2019年4月24日加试试题制卷人：吴中才薛坤吴文庆审卷人：梁丽平说明：本练习为期中考试的加试题，共三道大题7道小题，共2页，满分50分．整场考试时间为120分钟，请合理安排作答时间．将答案全部填在答题纸的相应位置上．一、不定项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题可能有一个或多个选项是正确的，请选出全部正确选项．不选或错选0分，漏选3分．）21.下述四个命题中，是真命题的有（）A.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直B.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行C.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直D.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行22.三个正方体A,B,C 的棱长依次为,,a b c ，且满足222232a b c ab +-=．现以A 的棱、B 的面对角线和C 的体对角线组成一个三角形，则该三角形的内角中，必有一个内角的度数为（）A.45B.135C.60D.12023.已知正整数x 满足cos 2019sin 2019tan(12)cos 2019sin 2019x +⋅=-，则x 的值可能是（）A.6B.7C.8D.9二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请将最简结果写在答题纸的相应位置上．）24.平面直角坐标系中，直线l 过定点A ），且与向量OA 的夹角为30 ，则直线l 的方程为________．25.如左图，△ABC 中，AB AC =AD 为BC 边上的中线．将ADC ∆沿着边AD 向上折起至'ADC ∆，得到四面体'C ABD -，如右图．若'C A ⊥平面ABD ，则四面体'C ABD -的体积为_________．26.在ABC ∆中，三个内角,,A B C 满足tan :tan :tan 2:3:4A B C =，则该三角形中最大内角的余弦值为__________．三、解答题（本题共1小题，共14分．解答题应写出详细的解答步骤．）27.如左图，ABC △是等腰直角三角形，90CAB ∠=,4AC =,,E F 分别为,AC BC 的中点，将CEF △沿EF 折起，得到如右图所示的四棱锥'C ABFE -.（Ⅰ）若''ABC EFC m = 平面平面，''AEC BFC l = 平面平面，求证：m l ⊥；（Ⅱ）已知M 为BF 中点，N 为'EC 中点，试判断：在沿EF 折叠过程中，AMN △是否可能为等腰三角形？若是，求出AMN △的三边长；若否，请说明理由．加试参考答案与评分标准21.ABC22.A23.BC 24.y ＝1320y --=25.626.727.（Ⅰ） ,E F 分别为,AC BC 的中点，∴EF ∥AB ．∵'AB ABC ⊂平面，'EF ABC ⊄平面，∴'EF ABC 平面 ．又∵'EF EFC ⊂平面，''ABC EFC m = 平面平面，∴EF ∥m ．由折叠过程知，EF AE ⊥，'EF C E ⊥，又'C E AE E = ，∴'EF C EA ⊥平面． ''AEC BFC l = 平面平面,∴'l AEC ⊂平面，∴EF l ⊥．又∵EF ∥m ，∴m l ⊥．（Ⅱ）取AE 中点P ，连接,MP NP ，则,MP NP 均为中位线，MP ∥AB 且32EF ABMP +==，由'AB C EA ⊥平面知，'MP C EA ⊥平面，又'NP C EA ⊂平面，∴MP PN ⊥．下面研究△AMN ：①若AM AN =：由余弦定理，222cos 4510AM BA BM BA BM =+-⋅⋅= ，3AN AE EN AM <+=<，矛盾；②若AM MN =：此时=10MN 1,'2NP AC ==,'AEC △为等边三角形，由余弦定理，222cos 603AN EA EN EA EN =+-⋅⋅= ③若AN MN =：设NP x =则29MN x =+由余弦定理，221AN x =+22x =>矛盾．综上AMN △可以为等腰三角形，10AM MN ==3AN =．。